Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{1 + 2 x}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 1 + 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 1 + 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{\sqrt[3]{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{\sqrt[3]{u_{1}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{\sqrt[3]{u_{1}} \cdot 2} d u_{1}$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{u_{1}}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{2 \sqrt[3]{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{\sqrt[3]{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{{u_{1}}^{\frac{1}{3}}} d u_{1}$

Schritt 4.2

Bringe ${u_{1}}^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {({u_{1}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u_{1}$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u_{1}$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{3}} d u_{1}$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{3}} d u_{1}$

Schritt 5

Sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , folglich $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{2}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2}$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} {(2 u_{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} {(2 u_{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} {(2 u_{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 2 d u_{2}$

Schritt 6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{2} {(2 u_{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int 2 {u_{2}}^{2} {(2 u_{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (2 \int {u_{2}}^{2} {(2 u_{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} d u_{2})$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int {u_{2}}^{2} {(2 u_{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int {u_{2}}^{2} {(2 u_{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int {u_{2}}^{2} {(2 u_{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $\int {u_{2}}^{2} {(2 u_{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$ mit $1$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(2 u_{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Schritt 9

Sei $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Dann ist $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

Schritt 9.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 u_{2} + 1$ nach $u_{2}$ $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Schritt 9.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

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Schritt 9.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Schritt 9.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Schritt 9.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Schritt 9.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 9.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{2}$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 9.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\int {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{{(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{2}$ und ${u_{3}}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}}}{2} d u_{3}$

Schritt 10.3

Bringe ${u_{3}}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{2 {u_{3}}^{\frac{1}{3}}} d u_{3}$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{1}{3}}} d u_{3}$

Schritt 12

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 12.1

Bringe ${u_{3}}^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {({u_{3}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u_{3}$

Schritt 12.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{3}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 12.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u_{3}$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 1}{3}} d u_{3}$

Schritt 12.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Schreibe ${(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ als $(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})$ um.

$\frac{1}{2} \int (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int (\frac{u_{3}}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})) {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})) {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2})) {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} + (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} + (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.8

Stelle $\frac{u_{3}}{2}$ und $- 1$ um.

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.9

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.10

Mutltipliziere $\frac{u_{3}}{2}$ mit $\frac{u_{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{3} \cdot u_{3}}{2 \cdot 2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.11

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{1} u_{3}}{2 \cdot 2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.12

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1}}{2 \cdot 2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.14

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{2}}{2 \cdot 2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.15

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{2}}{4} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.16

Kombiniere $\frac{{u_{3}}^{2}}{4}$ und ${u_{3}}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}}}{4} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{2 - \frac{1}{3}}}{4} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.18

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{4} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.19

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}}{4} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}}{4} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.21

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.21.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{6 - 1}{3}}}{4} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.21.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.22

Kombiniere $- 1 \frac{u_{3}}{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{u_{3}}{2}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.23

Kombiniere $\frac{- 1 \frac{u_{3}}{2}}{2}$ und ${u_{3}}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.24

Kombiniere $\frac{u_{3}}{2}$ und ${u_{3}}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{3}}}{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.25

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}}}{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.26

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{1 - \frac{1}{3}}}{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.27

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3 - 1}{3}}}{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.29

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.30

Kombiniere $- \frac{1}{2}$ und $\frac{u_{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} - \frac{u_{3}}{2 \cdot 2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.31

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} - \frac{u_{3}}{4} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.32

Kombiniere $\frac{u_{3}}{4}$ und ${u_{3}}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} - \frac{u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{3}}}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.33

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} - \frac{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}}}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.34

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} - \frac{{u_{3}}^{1 - \frac{1}{3}}}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.35

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.36

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3 - 1}{3}}}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.37

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.38

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.39

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.40

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.41

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{1}{4} {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3}$

Schritt 13.42

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und ${u_{3}}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{{u_{3}}^{- \frac{1}{3}}}{4} d u_{3}$

Schritt 13.43

Stelle $- \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4}$ und $\frac{{u_{3}}^{- \frac{1}{3}}}{4}$ um.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} + \frac{{u_{3}}^{- \frac{1}{3}}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} d u_{3}$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Schreibe $- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}$ als $- \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}$ um.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{- \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2} + \frac{{u_{3}}^{- \frac{1}{3}}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} d u_{3}$

Schritt 14.2

Schreibe $\frac{- \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}}{2}$ als ein Produkt um.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{{u_{3}}^{- \frac{1}{3}}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} d u_{3}$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{{u_{3}}^{- \frac{1}{3}}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} d u_{3}$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{{u_{3}}^{- \frac{1}{3}}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} d u_{3}$

Schritt 14.5

Bringe ${u_{3}}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{1}{4 {u_{3}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} d u_{3}$

Schritt 14.6

Subtrahiere $\frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4}$ von $- \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{1}{4 {u_{3}}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} d u_{3}$

Schritt 14.7

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{1}{4 {u_{3}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 {u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{4} d u_{3}$

Schritt 14.8

Faktorisiere $2$ aus $- 2 {u_{3}}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{1}{4 {u_{3}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{2}{3}})}{4} d u_{3}$

Schritt 14.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.9.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{1}{4 {u_{3}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{2}{3}})}{2 (2)} d u_{3}$

Schritt 14.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{1}{4 {u_{3}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{2}{3}})}{2 \cdot 2} d u_{3}$

Schritt 14.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{1}{4 {u_{3}}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} d u_{3}$

Schritt 14.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} + \frac{1}{4 {u_{3}}^{\frac{1}{3}}} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} d u_{3}$

Schritt 15

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{4} d u_{3} + \int \frac{1}{4 {u_{3}}^{\frac{1}{3}}} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} d u_{3})$

Schritt 16

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{5}{3}} d u_{3} + \int \frac{1}{4 {u_{3}}^{\frac{1}{3}}} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} d u_{3})$

Schritt 17

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{\frac{5}{3}}$ nach $u_{3}$ gleich $\frac{3}{8} {u_{3}}^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{3}{8} {u_{3}}^{\frac{8}{3}} + C) + \int \frac{1}{4 {u_{3}}^{\frac{1}{3}}} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} d u_{3})$

Schritt 18

Kombiniere $\frac{3}{8}$ und ${u_{3}}^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + \int \frac{1}{4 {u_{3}}^{\frac{1}{3}}} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} d u_{3})$

Schritt 19

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{1}{3}}} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} d u_{3})$

Schritt 20

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 20.1

Bringe ${u_{3}}^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + \frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} d u_{3})$

Schritt 20.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{3}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 20.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + \frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} d u_{3})$

Schritt 20.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + \frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{3}} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} d u_{3})$

Schritt 20.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + \frac{1}{4} \int {u_{3}}^{- \frac{1}{3}} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} d u_{3})$

Schritt 21

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{- \frac{1}{3}}$ nach $u_{3}$ gleich $\frac{3}{2} {u_{3}}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + \frac{1}{4} (\frac{3}{2} {u_{3}}^{\frac{2}{3}} + C) + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} d u_{3})$

Schritt 22

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${u_{3}}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + \frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} + C) + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} d u_{3})$

Schritt 23

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + \frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} + C) - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} d u_{3})$

Schritt 24

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + \frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} + C) - (\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{3}} d u_{3}))$

Schritt 25

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{\frac{2}{3}}$ nach $u_{3}$ gleich $\frac{3}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + \frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} + C) - \frac{1}{2} (\frac{3}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{3}} + C))$

Schritt 26

Vereinfache.

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Schritt 26.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und ${u_{3}}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + \frac{1}{4} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{2} + C) - \frac{1}{2} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{5} + C))$

Schritt 26.2

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {u_{3}}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {u_{3}}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {u_{3}}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 27

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 27.1

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 27.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 27.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + 2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28

Vereinfache.

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Schritt 28.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 \frac{1 + 2 x - 1}{2} + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 \frac{2 x + 0}{2} + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.3

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 \frac{2 x}{2} + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 \frac{2 x}{2} + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 \frac{1 + 2 x - 1}{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 \frac{2 x}{2} + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 \frac{2 x + 0}{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 \frac{2 x}{2} + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 \frac{2 x}{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 28.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 28.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 \frac{2 x}{2} + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 \frac{2 x}{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.7.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 \frac{2 x}{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 28.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 \frac{2 x}{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 (\frac{1 + 2 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 28.7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 \frac{1 + 2 x - 1}{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.7.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + 2 x - 1$ .

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Schritt 28.7.3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 \frac{2 x + 0}{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.7.3.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 \frac{2 x}{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.7.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 28.7.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 \frac{2 x}{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.7.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.8

Um $\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $32$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 28.9.1

Mutltipliziere $\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{8}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{8 \cdot 4} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.9.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{8}{3}}}{32} + \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{8}{3}} + 3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 28.11.1

Faktorisiere $3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ aus $3 {(2 x + 1)}^{\frac{8}{3}} + 3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4$ heraus.

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Schritt 28.11.1.1

Bewege ${(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{8}{3}} + 3 \cdot 4 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.1.2

Faktorisiere $3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ aus $3 {(2 x + 1)}^{\frac{8}{3}}$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} ({(2 x + 1)}^{\frac{6}{3}}) + 3 \cdot 4 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.1.3

Faktorisiere $3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ aus $3 \cdot 4 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} ({(2 x + 1)}^{\frac{6}{3}}) + 3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.1.4

Faktorisiere $3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ aus $3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} ({(2 x + 1)}^{\frac{6}{3}}) + 3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4)$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} ({(2 x + 1)}^{\frac{6}{3}} + 4)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.2

Dividiere $6$ durch $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} ({(2 x + 1)}^{2} + 4)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.3

Schreibe ${(2 x + 1)}^{2}$ als $(2 x + 1) (2 x + 1)$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} ((2 x + 1) (2 x + 1) + 4)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.4

Multipliziere $(2 x + 1) (2 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 28.11.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1) + 4)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1) + 4)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 4)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 28.11.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 28.11.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 4)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 28.11.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 4)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 4)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 4)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 + 4)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.5.1.5

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1 + 4)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.5.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 + 4)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.5.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 4 x + 1 + 4)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.11.6

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 4 x + 5)}{32} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.12

Um $\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 4 x + 5)}{32}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 4 x + 5)}{32} \cdot \frac{5}{5} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}) + C$

Schritt 28.13

Um $- \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 4 x + 5)}{32} \cdot \frac{5}{5} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10} \cdot \frac{16}{16}) + C$

Schritt 28.14

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $160$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 28.14.1

Mutltipliziere $\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 4 x + 5)}{32}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 4 x + 5) \cdot 5}{32 \cdot 5} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10} \cdot \frac{16}{16}) + C$

Schritt 28.14.2

Mutltipliziere $32$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 4 x + 5) \cdot 5}{160} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10} \cdot \frac{16}{16}) + C$

Schritt 28.14.3

Mutltipliziere $\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{10}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 4 x + 5) \cdot 5}{160} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 16}{10 \cdot 16}) + C$

Schritt 28.14.4

Mutltipliziere $10$ mit $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 4 x + 5) \cdot 5}{160} - \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 16}{160}) + C$

Schritt 28.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 4 x + 5) \cdot 5 - 3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 16}{160} + C$

Schritt 28.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 28.16.1

Faktorisiere $3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ aus $3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 4 x + 5) \cdot 5 - 3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 16$ heraus.

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Schritt 28.16.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 28.16.1.1.1

Bewege $4 x^{2} + 4 x + 5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5 (4 x^{2} + 4 x + 5) - 3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 16}{160} + C$

Schritt 28.16.1.1.2

Bewege ${(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 5 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 4 x + 5) - 3 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 16}{160} + C$

Schritt 28.16.1.1.3

Bewege ${(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 5 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 4 x + 5) - 3 \cdot 16 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{160} + C$

Schritt 28.16.1.2

Faktorisiere $3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ aus $3 \cdot 5 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 x^{2} + 4 x + 5)$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (5 (4 x^{2} + 4 x + 5)) - 3 \cdot 16 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}}{160} + C$

Schritt 28.16.1.3

Faktorisiere $3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ aus $- 3 \cdot 16 {(2 x + 1)}^{\frac{5}{3}}$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (5 (4 x^{2} + 4 x + 5)) + 3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 16 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{3}})}{160} + C$

Schritt 28.16.1.4

Faktorisiere $3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ aus $3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (5 (4 x^{2} + 4 x + 5)) + 3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 16 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{3}})$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (5 (4 x^{2} + 4 x + 5) - 1 \cdot 16 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{3}})}{160} + C$

Schritt 28.16.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (5 (4 x^{2} + 4 x + 5) - 16 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{3}})}{160} + C$

Schritt 28.16.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 28.16.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (5 (4 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 5 - 16 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{3}})}{160} + C$

Schritt 28.16.3.2

Vereinfache.

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Schritt 28.16.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (20 x^{2} + 5 (4 x) + 5 \cdot 5 - 16 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{3}})}{160} + C$

Schritt 28.16.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (20 x^{2} + 20 x + 5 \cdot 5 - 16 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{3}})}{160} + C$

Schritt 28.16.3.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (20 x^{2} + 20 x + 25 - 16 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{3}})}{160} + C$

Schritt 28.16.3.3

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (20 x^{2} + 20 x + 25 - 16 {(2 x + 1)}^{1})}{160} + C$

Schritt 28.16.3.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (20 x^{2} + 20 x + 25 - 16 (2 x + 1))}{160} + C$

Schritt 28.16.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (20 x^{2} + 20 x + 25 - 16 (2 x) - 16 \cdot 1)}{160} + C$

Schritt 28.16.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (20 x^{2} + 20 x + 25 - 32 x - 16 \cdot 1)}{160} + C$

Schritt 28.16.3.7

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (20 x^{2} + 20 x + 25 - 32 x - 16)}{160} + C$

Schritt 28.16.4

Subtrahiere $32 x$ von $20 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (20 x^{2} - 12 x + 25 - 16)}{160} + C$

Schritt 28.16.5

Subtrahiere $16$ von $25$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (20 x^{2} - 12 x + 9)}{160} + C$

Schritt 28.17

Kombinieren.

$\frac{1 (3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (20 x^{2} - 12 x + 9))}{2 \cdot 160} + C$

Schritt 28.18

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (20 x^{2} - 12 x + 9)}{2 \cdot 160} + C$

Schritt 28.19

Mutltipliziere $2$ mit $160$ .

$\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} (20 x^{2} - 12 x + 9)}{320} + C$