Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{\sqrt{3 x}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 x}}$

Schritt 1.1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 x}}$

Schritt 1.1.3

Da $x$ für Wurzeln gegen $\infty$ geht, erreicht der Wert $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{\sqrt{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Schritt 1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Schritt 1.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Schritt 1.3.8

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(3 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.9

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.10

Wende die Produktregel auf $3 (x)$ an.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.11

Da $3^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Schritt 1.3.13

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Schritt 1.3.14

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Schritt 1.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Schritt 1.3.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Schritt 1.3.16.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Schritt 1.3.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Schritt 1.3.18

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Schritt 1.3.19

Kombiniere $3^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Schritt 1.3.20

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.5

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

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Schritt 1.5.1

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{3^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.5.2

Schreibe $3^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{3}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{3}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{2}{\sqrt{3}}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x}$

Schritt 3.1.2

Da $x$ für Wurzeln gegen $\infty$ geht, erreicht der Wert $\infty$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Schritt 3.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.9

Vereinfache.

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Schritt 3.3.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 3.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\sqrt{x}}$ $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot 0$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot 0$

Schritt 6.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot 0$

Schritt 6.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot 0$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot 0$

Schritt 6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot 0$

Schritt 6.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 0$

Schritt 6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 0$

Schritt 6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

Schritt 6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

Schritt 6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} \cdot 0$

Schritt 6.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $0$ .

$0$