Analysis Beispiele

$y = \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x - e^{x}$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$