Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + 3 e^{x}}{2 e^{x}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + 3 e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + 3 e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 3 e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + 3 e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + 3 e^{lim_{x \to 0} x}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) + 3 e^{lim_{x \to 0} x}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) + 3 e^{0}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) + 3 e^{0}}{e^{0}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 3 e^{0}}{e^{0}}$

Schritt 9.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 3 \cdot 1}{e^{0}}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 3}{e^{0}}$

Schritt 9.1.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{e^{0}}$

Schritt 9.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (2)}{1}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{1}$

Schritt 9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2$