Analysis Beispiele

$y = x^{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x^{2}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $x^{x^{2}}$ als $e^{\ln (x^{x^{2}})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x^{2}})}]$

Schritt 3.1.2

Zerlege $\ln (x^{x^{2}})$ durch Herausziehen von $x^{2}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2} \ln (x)}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2} \ln (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} \ln (x)$ .

$e^{x^{2} \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{2} \ln (x)} (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{2} \ln (x)} (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.5.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{2} \ln (x)} (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$e^{x^{2} \ln (x)} (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{x^{2} \ln (x)} (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.5.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$e^{x^{2} \ln (x)} (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{x^{2} \ln (x)} (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{x^{2} \ln (x)} (\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.5.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$e^{x^{2} \ln (x)} (x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{x^{2} \ln (x)} (x + \ln (x) (2 x))$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x^{2} \ln (x)} x + e^{x^{2} \ln (x)} (\ln (x) (2 x))$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$e^{x^{2} \ln (x)} x + 2 e^{x^{2} \ln (x)} x \ln (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = e^{x^{2} \ln (x)} x + 2 e^{x^{2} \ln (x)} x \ln (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{x^{2} \ln (x)} x + 2 e^{x^{2} \ln (x)} x \ln (x)$