Analysis Beispiele

$\int_{0}^{0.6} \frac{x^{2}}{\sqrt{9 - 25 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \frac{3}{5} \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{3 \cos (t)}{5} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \cos (t)}{5}$ positiv ist.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 25 {(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{9 - 25 {(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $\sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 25 {(\frac{3 \sin (t)}{5})}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sin (t)}{5}$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 25 \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{5^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.2.2

Wende die Produktregel auf $3 \sin (t)$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 25 \frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 25 \frac{9 \sin^{2} (t)}{5^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 25 \frac{9 \sin^{2} (t)}{25}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Faktorisiere $25$ aus $- 25$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 + 25 (- 1) \frac{9 \sin^{2} (t)}{25}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 + 25 \cdot - 1 \frac{9 \sin^{2} (t)}{25}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 1 (9 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.1.6

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 9 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $9 \cos^{2} (t)$ als ${(3 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{5} \sin (t))}^{2}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $\sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3 \sin (t)}{5})}^{2}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sin (t)}{5}$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{5^{2}}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Produktregel auf $3 \sin (t)$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\frac{9 \sin^{2} (t)}{5^{2}}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.2.2.3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\frac{9 \sin^{2} (t)}{25}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.2.2.3.3

Schreibe $\frac{\frac{9 \sin^{2} (t)}{25}}{3 \cos (t)}$ als ein Produkt um.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t)}{25} \cdot \frac{1}{3 \cos (t)} \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.2.2.3.4

Mutltipliziere $\frac{9 \sin^{2} (t)}{25}$ mit $\frac{1}{3 \cos (t)}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t)}{25 (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.2.2.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t)}{75 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.2.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $75$ .

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Schritt 2.2.2.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $9 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 (3 \sin^{2} (t))}{75 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.2.2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $75 \cos (t)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 (3 \sin^{2} (t))}{3 (25 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.2.2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 (3 \sin^{2} (t))}{3 (25 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.2.2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin^{2} (t)}{25 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{5} d t$

Schritt 2.2.2.3.7

Mutltipliziere $\frac{3 \sin^{2} (t)}{25 \cos (t)}$ mit $\frac{3 \cos (t)}{5}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin^{2} (t) (3 \cos (t))}{25 \cos (t) \cdot 5} d t$

Schritt 2.2.2.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t) \cos (t)}{25 \cos (t) \cdot 5} d t$

Schritt 2.2.2.3.9

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t) \cos (t)}{125 \cos (t)} d t$

Schritt 2.2.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 2.2.2.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t) \cos (t)}{125 \cos (t)} d t$

Schritt 2.2.2.3.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t)}{125} d t$

Schritt 3

Da $\frac{9}{125}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{9}{125}$ aus dem Integral.

$\frac{9}{125} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) d t$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (t)$ als $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{9}{125} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{9}{125} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - \cos (2 t) d t)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{9}{125}$ .

$\frac{9}{2 \cdot 125} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $125$ .

$\frac{9}{250} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{9}{250} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 t) d t)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{9}{250} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{9}{250} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 10

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 10.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 10.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 10.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 10.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Schritt 10.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{9}{250} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 11

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{250} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{9}{250} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u))$

Schritt 13

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{9}{250} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Schritt 14

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.1

Berechne $t$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{9}{250} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Schritt 14.2

Berechne $\sin (u)$ bei $π$ und $0$ .

$\frac{9}{250} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Schritt 14.3

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{9}{250} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{9}{250} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{9}{250} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Schritt 15.3

Addiere $\sin (π)$ und $0$ .

$\frac{9}{250} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin (π))$

Schritt 15.4

Kombiniere $\sin (π)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{250} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (π)}{2})$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{9}{250} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Schritt 16.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{9}{250} (\frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Schritt 16.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{9}{250} (\frac{π}{2} - 0)$

Schritt 16.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{9}{250} (\frac{π}{2} + 0)$

Schritt 16.4

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{9}{250} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 16.5

Multipliziere $\frac{9}{250} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Schritt 16.5.1

Mutltipliziere $\frac{9}{250}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9 π}{250 \cdot 2}$

Schritt 16.5.2

Mutltipliziere $250$ mit $2$ .

$\frac{9 π}{500}$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9 π}{500}$

Dezimalform:

$0.05654866 \dots$

Schritt 18