Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{\sqrt{x}}$ als $e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln (x^{\sqrt{x}})$ durch Herausziehen von $\sqrt{x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sqrt{x} \ln (x)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \ln (x)}$

Schritt 3

Schreibe $\sqrt{x} \ln (x)$ als $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Schritt 4.1.2

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (x)$ ohne Schranke ab.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Schritt 4.1.3

Da der Zähler positiv ist und der Nenner $\sqrt{x}$ gegen null geht und größer als null ist für Werte von $x$ unmittelbar rechts von $0$ , steigt die Funktion ohne Grenzen an.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Schritt 4.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Schritt 4.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

Schritt 4.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

Schritt 4.3.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]}}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]}}$

Schritt 4.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]}}$

Schritt 4.3.5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]}}$

Schritt 4.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]}}$

Schritt 4.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}}}$

Schritt 4.3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}}$

Schritt 4.3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}}$

Schritt 4.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}}$

Schritt 4.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}}$

Schritt 4.3.10.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}}}$

Schritt 4.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}}}$

Schritt 4.3.12

Vereinfache.

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Schritt 4.3.12.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}}$

Schritt 4.3.12.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.12.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}}}$

Schritt 4.3.12.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.5.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.5.3

Kombiniere $\frac{- 2}{x}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x}}$

Schritt 4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

Schritt 4.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

Schritt 4.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

Schritt 4.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1}}$

Schritt 4.6.2.5

Dividiere $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Ziehe den Exponenten $\frac{1}{2}$ von $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{- 2 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$e^{- 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 7.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 2 \cdot 0^{1}}$

Schritt 7.1.4

Berechne den Exponenten.

$e^{- 2 \cdot 0}$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$e^{0}$

Schritt 7.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$