Analysis Beispiele

$y = x^{\cos (x)}$

Schritt 1

Es gilt $y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\cos (x)})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (x^{\cos (x)})$ durch Herausziehen von $\cos (x)$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) = \cos (x) \ln (x)$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass $y$ eine Funktion von $x$ ist.

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Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von $\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \ln (x)$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Differenziere $\cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x))$

Schritt 3.2.6

Stelle die Terme um.

$\frac{y'}{y} = - \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$

Schritt 4

Isoliere $y'$ und ersetze die Originalfunktion für $y$ auf der rechten Seite.

$y' = (- \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}) x^{\cos (x)}$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{x} x^{\cos (x)}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{x}$ und $x^{\cos (x)}$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x)}}{x}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{\cos (x)}$ und $x$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x$ aus $\cos (x) x^{\cos (x)}$ heraus.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x}$

Schritt 5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x^{1}}$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x) - 1}}{1}$

Schritt 5.3.2.5

Dividiere $\cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ durch $1$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren in $- \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ um.

$y' = - x^{\cos (x)} \sin (x) \ln (x) + x^{\cos (x) - 1} \cos (x)$