Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{n} - 3 x^{n - 1} + 4 x^{n - 2}}{2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x^{n} - 3 x^{n - 1} + 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x^{n} - lim_{x \to 0} 3 x^{n - 1} + lim_{x \to 0} 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to 0} x^{n} - lim_{x \to 0} 3 x^{n - 1} + lim_{x \to 0} 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $n$ von $x^{n}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - lim_{x \to 0} 3 x^{n - 1} + lim_{x \to 0} 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 lim_{x \to 0} x^{n - 1} + lim_{x \to 0} 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $n - 1$ von $x^{n - 1}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + lim_{x \to 0} 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 lim_{x \to 0} x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $n - 2$ von $x^{n - 2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - lim_{x \to 0} 6 x^{n - 2}}$

Schritt 10

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{2 lim_{x \to 0} x^{n} - lim_{x \to 0} 6 x^{n - 2}}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $n$ von $x^{n}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - lim_{x \to 0} 6 x^{n - 2}}$

Schritt 12

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 6 lim_{x \to 0} x^{n - 2}}$

Schritt 13

Ziehe den Exponenten $n - 2$ von $x^{n - 2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 14.1