Analysis Beispiele

$e^{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 8.3

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Schritt 12.2

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 12.3

Kombiniere $\frac{2 e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Stelle die Faktoren in $e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$ um.

$\frac{x e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.2

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.3

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ um.

$\frac{x e^{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$