Analysis Beispiele

$\sqrt{x + y} + x y = 21$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + y}$ als ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y = 21$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y) = \frac{d}{d x} (21)$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.11

Bringe ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y \cdot 1$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y$

Schritt 4

Da $21$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $21$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$(1 + y') (\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}) + x y' + y = 0$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y$ .

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $1 + y'$ mit $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y = 0$

Schritt 6.1.2

Um $x y'$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

Schritt 6.1.3

Kombiniere $x y'$ und $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

Schritt 6.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + y' + x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

Schritt 6.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

Schritt 6.1.6

Um $y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.7

Kombiniere $y$ und $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Schritt 6.3.1.2

Subtrahiere $2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' \cdot 1 + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 1 + y' (2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ durch $1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ durch $1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.3.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.3.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (1) - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (1) - (2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.3.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$