Analysis Beispiele

$x + y = \frac{x}{y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x + y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{y})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x y' + y}{y^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 + y' = \frac{- x y' + y}{y^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$(1 + y') y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $(1 + y') y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 y^{2} + y' y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} + y' y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Stelle $y^{2}$ und $y' y^{2}$ um.

$y' y^{2} + y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $\frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' y^{2} + y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' y^{2} + y^{2} = - x y' + y$

Schritt 5.2.2.1.2

Bewege $x$ .

$y' y^{2} + y^{2} = - 1 y' x + y$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $- 1 y'$ als $- y'$ um.

$y' y^{2} + y^{2} = - y' x + y$

Schritt 5.3.2

Addiere $y' x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' y^{2} + y^{2} + y' x = y$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' y^{2} + y' x = y - y^{2}$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' y^{2} + y' x$ heraus.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' y^{2}$ heraus.

$y' (y^{2}) + y' (x) = y - y^{2}$

Schritt 5.3.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' x$ heraus.

$y' (y^{2}) + y' (x) = y - y^{2}$

Schritt 5.3.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (y^{2}) + y' (x)$ heraus.

$y' (y^{2} + x) = y - y^{2}$

Schritt 5.3.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (y^{2} + x) = y - y^{2}$ durch $y^{2} + x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (y^{2} + x) = y - y^{2}$ durch $y^{2} + x$ .

$\frac{y' (y^{2} + x)}{y^{2} + x} = \frac{y}{y^{2} + x} + \frac{- y^{2}}{y^{2} + x}$

Schritt 5.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + x$ .

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Schritt 5.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y^{2} + x)}{y^{2} + x} = \frac{y}{y^{2} + x} + \frac{- y^{2}}{y^{2} + x}$

Schritt 5.3.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} + x} + \frac{- y^{2}}{y^{2} + x}$

Schritt 5.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y - y^{2}}{y^{2} + x}$

Schritt 5.3.5.3.2

Faktorisiere $y$ aus $y - y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.5.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{y^{1} - y^{2}}{y^{2} + x}$

Schritt 5.3.5.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot 1 - y^{2}}{y^{2} + x}$

Schritt 5.3.5.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- y)}{y^{2} + x}$

Schritt 5.3.5.3.2.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- y)$ heraus.

$y' = \frac{y (1 - y)}{y^{2} + x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - y)}{y^{2} + x}$