Analysis Beispiele

$\int_{- \infty}^{0} e^{x} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $- \infty$ annähert.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} e^{x} d x$

Schritt 2

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$lim_{t \to - \infty} e^{x}]_{t}^{0}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $e^{x}$ bei $0$ und $t$ .

$lim_{t \to - \infty} (e^{0}) - e^{t}$

Schritt 3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$lim_{t \to - \infty} 1 - e^{t}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $- \infty$ annähert.

$lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{t}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $- \infty$ annähert.

$1 - lim_{t \to - \infty} e^{t}$

Schritt 4.2

Da der Exponent $t$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{t}$ $0$ an.

$1 - 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$1$