Analysis Beispiele

$y = x \sqrt{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = x \cdot x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Schritt 4.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$