Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \frac{1}{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.8

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $2 + \frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Schritt 4.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ mit $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.4.1.1

Stelle die Terme um.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Schritt 5.4.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 5.4.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Schritt 5.4.1.2.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Schritt 5.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Schritt 5.4.1.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Schritt 5.4.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.4.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Schritt 5.4.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Schritt 5.4.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 5.4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 5.4.3

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.3.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 5.4.3.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 5.4.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.4.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.4.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.4.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 5.4.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.4.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 2$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{1} + 2$

Schritt 9.1.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1 + 2$

Schritt 9.2

Addiere $1$ und $2$ .

$3$

Schritt 10

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} - (1) - \ln (1)$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - (1) - \ln (1)$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 1 - \ln (1)$

Schritt 11.2.1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = 1 - 1 - 0$

Schritt 11.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (1) = 1 - 1 + 0$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (1) = 0 + 0$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ .

$(1, 0)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13