Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{x - a}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - a}$ als ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(x - a)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - a)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - a$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - a$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - a$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - a)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8.3

Bringe ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - a$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.11

Da $- a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.12.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.1.14

Mutltipliziere ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.15

Um ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.16

Kombiniere ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.18

Multipliziere ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.18.1

Bewege ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.18.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.18.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.19

Vereinfache ${(x - a)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x - a) \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.20

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - a$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x - a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21

Vereinfache.

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Schritt 1.1.21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 2 x + 2 (- a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.21.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x + 2 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21.2.2

Addiere $x$ und $2 x$ .

$\frac{3 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 a + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 a$ heraus.

$\frac{- (2 a) + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21.5

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{- (2 a) - (- 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 a) - (- 3 x)$ heraus.

$\frac{- (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21.7

Schreibe $- (2 a - 3 x)$ als $- 1 (2 a - 3 x)$ um.

$\frac{- 1 (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 a - 3 x = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $2 a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = - 2 a$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 2 a$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 2 a$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2 a}{- 3}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{2 a}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x \sqrt{x - a}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{2 a}{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{2 a}{3}$ .

$(\frac{2 a}{3}) \sqrt{(\frac{2 a}{3}) - a}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Um $- a$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} - a \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 4.1.2.2

Kombiniere $- a$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} + \frac{- a \cdot 3}{3}}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a - a \cdot 3}{3}}$

Schritt 4.1.2.4

Schreibe $\frac{2 a - a \cdot 3}{3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.2.4.1

Faktorisiere $a$ aus $2 a - a \cdot 3$ heraus.

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Schritt 4.1.2.4.1.1

Faktorisiere $a$ aus $2 a$ heraus.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 - a \cdot 3}{3}}$

Schritt 4.1.2.4.1.2

Faktorisiere $a$ aus $- a \cdot 3$ heraus.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)}{3}}$

Schritt 4.1.2.4.1.3

Faktorisiere $a$ aus $a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 1 \cdot 3)}{3}}$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 3)}{3}}$

Schritt 4.1.2.4.3

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot - 1}{3}}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{- 1 \cdot a}{3}}$

Schritt 4.1.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Schritt 4.1.2.6

Kombiniere $\frac{2 a}{3}$ und $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(\frac{2 a}{3}, \frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3})$

Schritt 5