Analysis Beispiele

$2 x \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 7}$ als ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 7$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 7$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{{(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8.3

Bringe ${(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7] + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 11

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 12.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 12.3

Kombiniere $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$2 (\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 16

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.1

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 16.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 18

Mutltipliziere ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 19

Um ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21

Multipliziere ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 21.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.3

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$2 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 7)}^{1}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22

Vereinfache ${(x^{2} + 7)}^{1}$ .

$2 \frac{x^{2} + x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$2 \frac{2 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24

Kombiniere $2$ und $\frac{2 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$