Analysis Beispiele

$lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} \cos (x)}{lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} 1 - \sin (x)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}{lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} 1 - \sin (x)}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2$ annähert.

$\frac{\cos (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}{lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} 1 - lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} \sin (x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2$ annähert.

$\frac{\cos (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}{1 - lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} \sin (x)}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}{1 - \sin (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2$ für $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}{1 - \sin (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{}{}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}{1 - \sin (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}$

Schritt 6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (\frac{π}{\frac{1}{1}} \cdot 2)}{1 - \sin (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (\frac{π}{1} \cdot 2)}{1 - \sin (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}$

Schritt 6.3

Dividiere $π$ durch $1$ .

$\frac{\cos (π \cdot 2)}{1 - \sin (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}$

Schritt 6.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{\cos (2 π)}{1 - \sin (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}$

Schritt 6.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2$ für $x$ .

$\frac{\cos (2 π)}{1 - \sin (\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}$

Schritt 6.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{}{}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (2 π)}{1 - \sin (\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}$

Schritt 6.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (2 π)}{1 - \sin (\frac{π}{\frac{1}{1}} \cdot 2)}$

Schritt 6.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (2 π)}{1 - \sin (\frac{π}{1} \cdot 2)}$

Schritt 6.7

Dividiere $π$ durch $1$ .

$\frac{\cos (2 π)}{1 - \sin (π \cdot 2)}$

Schritt 6.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{\cos (2 π)}{1 - \sin (2 π)}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{\cos (0)}{1 - \sin (2 π)}$

Schritt 7.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{1 - \sin (2 π)}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{1 - \sin (0)}$

Schritt 7.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{1 - 0}$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Schritt 7.2.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1}$

Schritt 7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$