Analysis Beispiele

$\int (\frac{7}{\sqrt{x}} + 7 \sqrt{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{7}{\sqrt{x}} + 7 \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{7}{\sqrt{x}} d x + \int 7 \sqrt{x} d x$

Schritt 3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 7 \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$7 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 7 \sqrt{x} d x$

Schritt 4.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$7 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 7 \sqrt{x} d x$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 7 \sqrt{x} d x$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$7 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 7 \sqrt{x} d x$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$7 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 7 \sqrt{x} d x$

Schritt 6

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int \sqrt{x} d x$

Schritt 7

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$14 x^{\frac{1}{2}} + 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$14 x^{\frac{1}{2}} + 7 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $7$ und $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$14 x^{\frac{1}{2}} + \frac{7 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$14 x^{\frac{1}{2}} + \frac{14 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$14 x^{\frac{1}{2}} + \frac{14}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$