Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} x - 3 & x \leq 2 \\ - 5 x + 4 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $- 5 x + 4$ , wenn sich $x$ von rechts $2$ nähert.

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Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen rechtsseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 2^{+}} - 5 x + 4$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$- lim_{x \to 2^{+}} 5 x + lim_{x \to 2^{+}} 4$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 5 lim_{x \to 2^{+}} x + lim_{x \to 2^{+}} 4$

Schritt 1.2.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$- 5 lim_{x \to 2^{+}} x + 4$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$- 5 \cdot 2 + 4$

Schritt 1.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$- 10 + 4$

Schritt 1.4.2

Addiere $- 10$ und $4$ .

$- 6$

Schritt 2

Berechne $x - 3$ bei $2$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$(2) - 3$

Schritt 2.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$- 1$

Schritt 3

Da die Grenze von $- 5 x + 4$ bei Annäherung von $x$ an $2$ von rechts nicht gleich dem Funktionswert bei $x = 2$ ist, ist die Funktion bei $x = 2$ nicht stetig.

Nicht stetig

Schritt 4