Analysis Beispiele

$x = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ , $1 \leq y \leq 2$

Schritt 1

Überprüfe, ob $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ stetig ist.

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Schritt 1.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[1, 2]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ .

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Schritt 1.1.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{4 y^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 y^{2} = 0$

Schritt 1.1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.1.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.1.2.1.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.1.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$y^{2} = 0$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 0$

Schritt 1.1.2.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \neq 0}$

Schritt 1.2

$f (y)$ ist stetig im Intervall $[1, 2]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ differenzierbar ist.

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Schritt 2.1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}]$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{4}}{8}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 2.1.1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 2.1.1.2.4

Kombiniere $\frac{4}{8}$ und $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 2.1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 2.1.1.2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{3}$ heraus.

$\frac{4 (y^{3})}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 2.1.1.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.2.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 2.1.1.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 2.1.1.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4 y^{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 2.1.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{y^{2}}$ als ${(y^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = y^{2}$ .

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Schritt 2.1.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 2.1.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 2.1.1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 2.1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Schritt 2.1.1.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.1.1.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Schritt 2.1.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{- 4} (2 y))$

Schritt 2.1.1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 4} y)$

Schritt 2.1.1.3.7

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Schritt 2.1.1.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{1 - 4})$

Schritt 2.1.1.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 3})$

Schritt 2.1.1.3.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4} y^{- 3}$

Schritt 2.1.1.3.11

Kombiniere $\frac{- 2}{4}$ und $y^{- 3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2 y^{- 3}}{4}$

Schritt 2.1.1.3.12

Bringe $y^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4 y^{3}}$

Schritt 2.1.1.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 2.1.1.3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{4 y^{3}}$

Schritt 2.1.1.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y^{3}$ heraus.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y^{3})}$

Schritt 2.1.1.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y^{3})}$

Schritt 2.1.1.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 1}{2 y^{3}}$

Schritt 2.1.1.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (y) = \frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

Schritt 2.1.2

Die erste Ableitung von $f (y)$ nach $y$ ist $\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$ .

$\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

Schritt 2.2

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $[1, 2]$ stetig ist.

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Schritt 2.2.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[1, 2]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f' (y) = \frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{2 y^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 y^{3} = 0$

Schritt 2.2.1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{3} = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{3} = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.1.2.1.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.1.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y^{3} = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.2.1.2.3

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.2.1.2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.2.1.2.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$y = 0$

Schritt 2.2.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \neq 0}$

Schritt 2.2.2

$f' (y)$ ist stetig im Intervall $[1, 2]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2.3

Die Funktion ist im Intervall $[1, 2]$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $[1, 2]$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 3

Damit die Bogenlänge definiert ist, müssen sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung in dem geschlossenen Intervall $[1, 2]$ stetig sein.

Die Funktion und ihre Ableitung sind in dem abgeschlossenen Intervall $[1, 2]$ stetig.

Schritt 4

Ermittele die Ableitung von $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ .

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{4}}{8}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $\frac{4}{8}$ und $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 4.2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{3}$ heraus.

$\frac{4 (y^{3})}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 4.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 4.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 4.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4 y^{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 4.3.2

Schreibe $\frac{1}{y^{2}}$ als ${(y^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = y^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 4.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Schritt 4.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{- 4} (2 y))$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 4} y)$

Schritt 4.3.7

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Schritt 4.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{1 - 4})$

Schritt 4.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 3})$

Schritt 4.3.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4} y^{- 3}$

Schritt 4.3.11

Kombiniere $\frac{- 2}{4}$ und $y^{- 3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2 y^{- 3}}{4}$

Schritt 4.3.12

Bringe $y^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4 y^{3}}$

Schritt 4.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 4.3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{4 y^{3}}$

Schritt 4.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y^{3}$ heraus.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y^{3})}$

Schritt 4.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y^{3})}$

Schritt 4.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 1}{2 y^{3}}$

Schritt 4.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

Schritt 5

Um die Bogenlänge einer Funktion zu bestimmen, benutze die Formel $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (y))}^{2}} d y$ .

$\int_{1}^{2} \sqrt{1 + {(\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}})}^{2}} d y$

Schritt 6

Berechne das Integral.

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Schritt 6.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{(y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1)}{y^{3}} d y$

Schritt 6.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.1

Bringe $y^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) {(y^{3})}^{- 1} d y$

Schritt 6.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{3 \cdot - 1} d y$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{- 3} d y$

Schritt 6.3

Multipliziere $(y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{- 3}$ aus.

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Schritt 6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (y^{2} (y^{4} - y^{2} + 1) + 1 (y^{4} - y^{2} + 1)) y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (y^{2} (y^{4} - y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{4} - y^{2} + 1)) y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{4} - y^{2} + 1)) y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{4} - y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1) y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2})) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{2} y^{4} y^{- 3} + y^{2} (- y^{2}) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{2} y^{4} y^{- 3} + y^{2} (- y^{2}) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2})) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{2} y^{4} y^{- 3} + y^{2} (- y^{2}) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 (- y^{2}) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.11

Stelle $y^{2}$ und $- 1$ um.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{2} y^{4} y^{- 3} - 1 \cdot y^{2} y^{2} y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 (- y^{2}) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.12

Stelle $y^{2}$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{2} y^{4} y^{- 3} - 1 \cdot y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 (- y^{2}) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{2 + 4} y^{- 3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.14

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{6} y^{- 3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{6 - 3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.16

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.17

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - (y^{2} y^{2}) y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y^{2 + 2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.19

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y^{4} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.20

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - (y^{4} y^{- 3}) + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y^{4 - 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.22

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y^{1} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.23

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.24

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y + y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y + y^{2 - 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.26

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y + y^{- 1} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.27

Mutltipliziere $y^{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y + y^{- 1} + y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.28

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y + y^{- 1} + y^{4 - 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.29

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y + y^{- 1} + y^{1} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.30

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y + y^{- 1} + y + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.31

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.32

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y + y^{- 1} + y - (y^{2} y^{- 3}) + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.33

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{2 - 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.34

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{- 1} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.35

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{- 1} + 1 y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.36

Mutltipliziere $y^{- 3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.37

Bewege $y^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} - y + y + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.38

Bewege $- y$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} + y - y + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.39

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} + 0 + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.40

Addiere $y^{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.41

Subtrahiere $y^{- 1}$ von $y^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} + 0 + y^{- 3} d y$

Schritt 6.3.42

Addiere $y^{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} y^{3} + y^{- 3} d y$

Schritt 6.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int_{1}^{2} y^{3} d y + \int_{1}^{2} y^{- 3} d y)$

Schritt 6.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} y^{- 3} d y)$

Schritt 6.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 3}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4}]_{1}^{2} + - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{2})$

Schritt 6.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.7.1

Kombiniere $\frac{1}{4} y^{4}]_{1}^{2}$ und $- \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{2}$

Schritt 6.7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.7.2.1

Berechne $\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{2} y^{- 2}$ bei $2$ und $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2}) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.7.2.2.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{16}{4} - \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 6.7.2.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.7.2.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{1} - \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.3.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4 \cdot 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{8} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.8

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.9

Kombiniere $4$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 8 - 1}{8} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.2.2.11.1

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 - 1}{8} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.11.2

Subtrahiere $1$ von $32$ .

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.13

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Schritt 6.7.2.2.14

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1))$

Schritt 6.7.2.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}))$

Schritt 6.7.2.2.16

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Schritt 6.7.2.2.17

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.7.2.2.17.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} - (\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}))$

Schritt 6.7.2.2.17.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} - (\frac{1}{4} - \frac{2}{4}))$

Schritt 6.7.2.2.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} - \frac{1 - 2}{4})$

Schritt 6.7.2.2.19

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} - \frac{- 1}{4})$

Schritt 6.7.2.2.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} - - \frac{1}{4})$

Schritt 6.7.2.2.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} + 1 (\frac{1}{4}))$

Schritt 6.7.2.2.22

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} + \frac{1}{4})$

Schritt 6.7.2.2.23

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 6.7.2.2.24

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.7.2.2.24.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2})$

Schritt 6.7.2.2.24.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{31}{8} + \frac{2}{8})$

Schritt 6.7.2.2.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{31 + 2}{8}$

Schritt 6.7.2.2.26

Addiere $31$ und $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{33}{8}$

Schritt 6.7.2.2.27

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{33}{8}$ .

$\frac{33}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.7.2.2.28

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{33}{16}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{33}{16}$

Dezimalform:

$2.0625$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{1}{16}$

Schritt 8