Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 3 x}}{4 x + 5}$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2} - 3 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (4 x) - 3 x}}{4 x + 5}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (4 x) + x \cdot - 3}}{4 x + 5}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x) + x \cdot - 3$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (4 x - 3)}}{4 x + 5}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $- \sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (4 x - 3)}{x^{2}}}}{\frac{4 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (4 x - 3)}{x^{2}}}}{4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (4 x - 3)}{x \cdot x}}}{4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (4 x - 3)}{x \cdot x}}}{4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{4 x - 3}{x}}}{4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x - 3}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 5.2

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{4 x - 3}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 5.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x - 3}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 6

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 7.1.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{- 3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 7.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 7.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 7.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 7.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 7.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x}}$

Schritt 9.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 3 \cdot 0}{1}}}{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Schritt 9.4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 3 \cdot 0}{1}}}{4 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 10

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{4 - 3 \cdot 0}{1}}}{4 + 5 \cdot 0}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Dividiere $4 - 3 \cdot 0$ durch $1$ .

$\frac{- \sqrt{4 - 3 \cdot 0}}{4 + 5 \cdot 0}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{- \sqrt{4 + 0}}{4 + 5 \cdot 0}$

Schritt 11.2.2

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{- \sqrt{4}}{4 + 5 \cdot 0}$

Schritt 11.2.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- \sqrt{2^{2}}}{4 + 5 \cdot 0}$

Schritt 11.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 1 \cdot 2}{4 + 5 \cdot 0}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{4 + 0}$

Schritt 11.3.2

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{4}$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2}{4}$

Schritt 11.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{4}$

Schritt 11.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 11.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$