Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{x})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = 1$ und $g (y) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{x \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d y} [x]$ von $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- \frac{x'}{x^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{x'}{x^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{x'}{x^{2}} = 1$ um.

$- \frac{x'}{x^{2}} = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x'}{x^{2}} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x'}{x^{2}} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{x^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x'}{x^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $\frac{x'}{x^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{x'}{x^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{x'}{x^{2}} = - 1$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{x'}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x'}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 5.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = - x^{2}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - x^{2}$