Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1 & x < 1 \\ 2 & x = 1 \\ 7 - 5 x & x > 1 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $x^{2} + 1$ , wenn sich $x$ von links $1$ nähert.

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Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen linksseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 1^{-}} x^{2} + 1$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$lim_{x \to 1^{-}} x^{2} + lim_{x \to 1^{-}} 1$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 1^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to 1^{-}} 1$

Schritt 1.2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

${(lim_{x \to 1^{-}} x)}^{2} + 1$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$1^{2} + 1$

Schritt 1.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 1$

Schritt 1.4.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$2$

Schritt 3

Da die Grenze von $x^{2} + 1$ bei Annäherung von $x$ an $1$ von links gleich dem Funktionswert bei $x = 1$ ist, ist die Funktion bei $x = 1$ kontinuierlich.

Stetig

Schritt 4

Finde die Grenze von $7 - 5 x$ , wenn sich $x$ von rechts $1$ nähert.

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Schritt 4.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen rechtsseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 1^{+}} 7 - 5 x$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$lim_{x \to 1^{+}} 7 - lim_{x \to 1^{+}} 5 x$

Schritt 4.2.2

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$7 - lim_{x \to 1^{+}} 5 x$

Schritt 4.2.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$7 - 5 lim_{x \to 1^{+}} x$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$7 - 5 \cdot 1$

Schritt 4.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$7 - 5$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $5$ von $7$ .

$2$

Schritt 5

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$2$

Schritt 6

Da die Grenze von $7 - 5 x$ bei Annäherung von $x$ an $1$ von rechts gleich dem Funktionswert bei $x = 1$ ist, ist die Funktion bei $x = 1$ stetig.

Stetig

Schritt 7