Grundlegende Mathematik Beispiele

$18 = \frac{1}{12^{n^{2} + 200}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{12^{n^{2} + 200}} = 18$ um.

$\frac{1}{12^{n^{2} + 200}} = 18$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $12^{n^{2} + 200}$ .

$\frac{1}{12^{n^{2} + 200}} \cdot 12^{n^{2} + 200} = 18 \cdot 12^{n^{2} + 200}$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12^{n^{2} + 200}$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{12^{n^{2} + 200}} \cdot 12^{n^{2} + 200} = 18 \cdot 12^{n^{2} + 200}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 18 \cdot 12^{n^{2} + 200}$

Schritt 4

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $18 \cdot 12^{n^{2} + 200} = 1$ um.

$18 \cdot 12^{n^{2} + 200} = 1$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $18 \cdot 12^{n^{2} + 200} = 1$ durch $18$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $18 \cdot 12^{n^{2} + 200} = 1$ durch $18$ .

$\frac{18 \cdot 12^{n^{2} + 200}}{18} = \frac{1}{18}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $18$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 \cdot 12^{n^{2} + 200}}{18} = \frac{1}{18}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $12^{n^{2} + 200}$ durch $1$ .

$12^{n^{2} + 200} = \frac{1}{18}$

Schritt 4.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (12^{n^{2} + 200}) = \ln (\frac{1}{18})$

Schritt 4.4

Zerlege $\ln (12^{n^{2} + 200})$ durch Herausziehen von $n^{2} + 200$ aus dem Logarithmus.

$(n^{2} + 200) \ln (12) = \ln (\frac{1}{18})$

Schritt 4.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$n^{2} \ln (12) + 200 \ln (12) = \ln (\frac{1}{18})$

Schritt 4.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$n^{2} \ln (12) + 200 \ln (12) - \ln (\frac{1}{18}) = 0$

Schritt 4.7

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.7.1

Subtrahiere $200 \ln (12)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$n^{2} \ln (12) - \ln (\frac{1}{18}) = - 200 \ln (12)$

Schritt 4.7.2

Addiere $\ln (\frac{1}{18})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$n^{2} \ln (12) = - 200 \ln (12) + \ln (\frac{1}{18})$

Schritt 4.8

Teile jeden Ausdruck in $n^{2} \ln (12) = - 200 \ln (12) + \ln (\frac{1}{18})$ durch $\ln (12)$ und vereinfache.

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Schritt 4.8.1

Teile jeden Ausdruck in $n^{2} \ln (12) = - 200 \ln (12) + \ln (\frac{1}{18})$ durch $\ln (12)$ .

$\frac{n^{2} \ln (12)}{\ln (12)} = \frac{- 200 \ln (12)}{\ln (12)} + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}$

Schritt 4.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (12)$ .

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Schritt 4.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n^{2} \ln (12)}{\ln (12)} = \frac{- 200 \ln (12)}{\ln (12)} + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}$

Schritt 4.8.2.1.2

Dividiere $n^{2}$ durch $1$ .

$n^{2} = \frac{- 200 \ln (12)}{\ln (12)} + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}$

Schritt 4.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (12)$ .

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Schritt 4.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$n^{2} = \frac{- 200 \ln (12)}{\ln (12)} + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}$

Schritt 4.8.3.1.2

Dividiere $- 200$ durch $1$ .

$n^{2} = - 200 + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}$

Schritt 4.9

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$n = \pm \sqrt{- 200 + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}}$

Schritt 4.10

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.10.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$n = \sqrt{- 200 + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}}$

Schritt 4.10.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$n = - \sqrt{- 200 + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}}$

Schritt 4.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$n = \sqrt{- 200 + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}}, - \sqrt{- 200 + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $18 = \frac{1}{12^{n^{2} + 200}}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$