Algebra Beispiele

$2 x^{4} + x^{3} - 8 x^{2} - x + 6$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$2 x^{4} - 8 x^{2} + x^{3} - x + 6$

Schritt 2

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{4} - 8 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$2 x^{2} (x^{2}) - 8 x^{2} + x^{3} - x + 6$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 4) + x^{3} - x + 6$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 4)$ heraus.

$2 x^{2} (x^{2} - 4) + x^{3} - x + 6$

Schritt 3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 x^{2} (x^{2} - 2^{2}) + x^{3} - x + 6$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$2 x^{2} ((x + 2) (x - 2)) + x^{3} - x + 6$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x^{2} (x + 2) (x - 2) + x^{3} - x + 6$

Schritt 5

Faktorisiere $x^{3} - x + 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 5.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 5.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 5.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

${(- 2)}^{3} - - 2 + 6$

Schritt 5.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 - - 2 + 6$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 8 + 2 + 6$

Schritt 5.3.4

Addiere $- 8$ und $2$ .

$- 6 + 6$

Schritt 5.3.5

Addiere $- 6$ und $6$ .

$0$

Schritt 5.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - x + 6}{x + 2}$

Schritt 5.5

Dividiere $x^{3} - x + 6$ durch $x + 2$ .

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Schritt 5.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

Schritt 5.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$

Schritt 5.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 5.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 5.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 5.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Schritt 5.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Schritt 5.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 5.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 5.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$3 x$

Schritt 5.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$3 x$	+	$6$

Schritt 5.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$3 x$	+	$6$

Schritt 5.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	+	$6$

Schritt 5.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x + 6$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	-	$6$

Schritt 5.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	-	$6$
										$0$

Schritt 5.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 2 x + 3$

Schritt 5.6

Schreibe $x^{3} - x + 6$ als eine Menge von Faktoren.

$2 x^{2} (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 6

Faktorisiere $x + 2$ aus $2 x^{2} (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x^{2} - 2 x + 3)$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $2 x^{2} (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x + 2) (2 x^{2} (x - 2)) + (x + 2) (x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x + 2) (2 x^{2} (x - 2)) + (x + 2) (x^{2} - 2 x + 3)$ heraus.

$(x + 2) (2 x^{2} (x - 2) + x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1

Bewege $x$ .

$(x + 2) (2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 2) (2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 2) (2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 4 x^{2} + x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 10

Addiere $- 4 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Schreibe $2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 11.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 11.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 2) ((2 x^{3} - 3 x^{2}) - 2 x + 3)$

Schritt 11.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 2) (x^{2} (2 x - 3) - (2 x - 3))$

Schritt 11.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$(x + 2) ((2 x - 3) (x^{2} - 1))$

Schritt 11.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x + 2) ((2 x - 3) (x^{2} - 1^{2}))$

Schritt 11.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 11.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 2) ((2 x - 3) ((x + 1) (x - 1)))$

Schritt 11.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) ((2 x - 3) (x + 1) (x - 1))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (2 x - 3) (x + 1) (x - 1)$