Algebra Beispiele

$\sin (θ) \cos (θ) - \frac{1}{2} \cos (θ) = 0$

Schritt 1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \frac{1}{2} \cdot \cos (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ)$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \frac{1}{2} \cdot \cos (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Schritt 2.2

Dividiere $\sin (θ)$ durch $1$ .

$\sin (θ) + \frac{- \frac{1}{2} \cdot \cos (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ)$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) + \frac{- \frac{1}{2} \cdot \cos (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Schritt 3.2

Dividiere $- \frac{1}{2}$ durch $1$ .

$\sin (θ) - \frac{1}{2} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Schritt 4

Separiere Brüche.

$\sin (θ) - \frac{1}{2} = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Schritt 5

Wandle von $\frac{1}{\cos (θ)}$ nach $\sec (θ)$ um.

$\sin (θ) - \frac{1}{2} = \frac{0}{1} \cdot \sec (θ)$

Schritt 6

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\sin (θ) - \frac{1}{2} = 0 \sec (θ)$

Schritt 7

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (θ)$ .

$\sin (θ) - \frac{1}{2} = 0$

Schritt 8

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 9

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 10

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Schritt 11

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Schritt 12

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 12.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 12.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 12.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 12.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Schritt 13

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 13.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 14

Die Periode der Funktion $\sin (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$