Algebra Beispiele

$2 x^{2} + 4 \leq 8 x$

Schritt 1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x^{2} + 4 - 8 x \leq 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} + 4 - 8 x = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 4 - 8 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) + 4 - 8 x = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 - 8 x = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 2 (- 4 x) = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot 2$ heraus.

$2 (x^{2} + 2) + 2 (- 4 x) = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + 2) + 2 (- 4 x)$ heraus.

$2 (x^{2} + 2 - 4 x) = 0$

Schritt 3.2

Stelle die Terme um.

$2 (x^{2} - 4 x + 2) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} - 4 x + 2) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} - 4 x + 2) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 4 x + 2$ durch $1$ .

$x^{2} - 4 x + 2 = \frac{0}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 2 - \sqrt{2}$

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$

$x > 2 + \sqrt{2}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 2 - \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 2 - \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(0)}^{2} + 4 \leq 8 (0)$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(2)}^{2} + 4 \leq 8 (2)$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $12$ ist kleiner als die rechte Seite $16$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2 + \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2 + \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(6)}^{2} + 4 \leq 8 (6)$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $76$ ist größer als die rechte Seite $48$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 2 - \sqrt{2}$ Falsch

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ Wahr

$x > 2 + \sqrt{2}$ Falsch

$x < 2 - \sqrt{2}$ Falsch

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ Wahr

$x > 2 + \sqrt{2}$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 - \sqrt{2} \leq x \leq 2 + \sqrt{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$2 - \sqrt{2} \leq x \leq 2 + \sqrt{2}$

Intervallschreibweise:

$[2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]$

Schritt 13