Algebra Beispiele

$x^{3} (x^{2} - 5) = - 4 x$

Schritt 1

Vereinfache $x^{3} (x^{2} - 5)$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$0 + 0 + x^{3} (x^{2} - 5) = - 4 x$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x^{3} (x^{2} - 5) = - 4 x$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 5 = - 4 x$

Schritt 1.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3 + 2} + x^{3} \cdot - 5 = - 4 x$

Schritt 1.4.2

Addiere $3$ und $2$ .

$x^{5} + x^{3} \cdot - 5 = - 4 x$

Schritt 1.5

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$x^{5} - 5 x^{3} = - 4 x$

Schritt 2

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{5} - 5 x^{3} + 4 x = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} - 5 x^{3} + 4 x = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + 4 x = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + x \cdot 4 = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2})$ heraus.

$x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot 4 = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot 4$ heraus.

$x (x^{4} - 5 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 3.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} - 5 u + 4) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $u^{2} - 5 u + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 4, - 1$

Schritt 3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((u - 4) (u - 1)) = 0$

Schritt 3.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 3.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 3.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 3.8

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Schritt 3.9

Faktorisiere.

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Schritt 3.9.1

Faktorisiere.

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Schritt 3.9.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x ((x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Schritt 3.9.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 3.9.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 8

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 9

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2, - 1, 1$