Algebra Beispiele

$y = \frac{e^{x^{8}}}{2}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{e^{y^{8}}}{2}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$ um.

$\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{y^{8}} = 2 x$

Schritt 2.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y^{8}}) = \ln (2 x)$

Schritt 2.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.5.1

Zerlege $\ln (e^{y^{8}})$ durch Herausziehen von $y^{8}$ aus dem Logarithmus.

$y^{8} \ln (e) = \ln (2 x)$

Schritt 2.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y^{8} \cdot 1 = \ln (2 x)$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $y^{8}$ mit $1$ .

$y^{8} = \ln (2 x)$

Schritt 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Schritt 2.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Schritt 2.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Schritt 2.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ ist.

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Schritt 4.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ und $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ und vergleiche sie.

Schritt 4.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze das Argument in $\ln (2 x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$2 x > 0$

Schritt 4.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x > 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x > 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{0}{2}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x > 0$

Schritt 4.3.3

Setze den Radikanden in $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\ln (2 x) \geq 0$

Schritt 4.3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.4.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\ln (2 x) = 0$

Schritt 4.3.4.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.4.2.1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (2 x)} = e^{0}$

Schritt 4.3.4.2.2

Schreibe $\ln (2 x) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 2 x$

Schritt 4.3.4.2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.4.2.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 x = e^{0}$ um.

$2 x = e^{0}$

Schritt 4.3.4.2.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$2 x = 1$

Schritt 4.3.4.2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.4.2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.4.2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\ln (2 x)$ .

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Schritt 4.3.4.3.1

Setze das Argument in $\ln (2 x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$2 x > 0$

Schritt 4.3.4.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x > 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.4.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x > 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Schritt 4.3.4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Schritt 4.3.4.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{0}{2}$

Schritt 4.3.4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.4.3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x > 0$

Schritt 4.3.4.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(0, \infty)$

Schritt 4.3.4.4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 4.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

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Schritt 4.4.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 4.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ der Wertebereich von $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ der Definitionsbereich von $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ die inverse Funktion von $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Schritt 5