Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}} = 3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}})$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}$ als ${(162 x^{c} y^{5})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\ln ({(162 x^{c} y^{5})}^{\frac{1}{3}}) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(162 x^{c} y^{5})}^{\frac{1}{3}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{3}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{3} \ln (162 x^{c} y^{5}) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Schritt 2.3

Schreibe $\ln (162 x^{c} y^{5})$ als $\ln (162 x^{c}) + \ln (y^{5})$ um.

$\frac{1}{3} (\ln (162 x^{c}) + \ln (y^{5})) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Schritt 2.4

Schreibe $\ln (162 x^{c})$ als $\ln (162) + \ln (x^{c})$ um.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + \ln (x^{c}) + \ln (y^{5})) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Schritt 2.5

Zerlege $\ln (x^{c})$ durch Herausziehen von $c$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + \ln (y^{5})) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Schritt 2.6

Zerlege $\ln (y^{5})$ durch Herausziehen von $5$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$ als $\ln (3 x^{2} y) + \ln (\sqrt[3]{6 y^{d}})$ um.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3 x^{2} y) + \ln (\sqrt[3]{6 y^{d}})$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (3 x^{2} y)$ als $\ln (3 x^{2}) + \ln (y)$ um.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3 x^{2}) + \ln (y) + \ln (\sqrt[3]{6 y^{d}})$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (3 x^{2})$ als $\ln (3) + \ln (x^{2})$ um.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + \ln (x^{2}) + \ln (y) + \ln (\sqrt[3]{6 y^{d}})$

Schritt 3.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{6 y^{d}}$ als ${(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + \ln (x^{2}) + \ln (y) + \ln ({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3.5

Zerlege $\ln (x^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \ln ({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3.6

Zerlege $\ln ({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{3}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} \ln (6 y^{d})$

Schritt 3.7

Schreibe $\ln (6 y^{d})$ als $\ln (6) + \ln (y^{d})$ um.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + \ln (y^{d}))$

Schritt 3.8

Zerlege $\ln (y^{d})$ durch Herausziehen von $d$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y))$ .

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} \ln (162) + \frac{1}{3} (c \ln (x)) + \frac{1}{3} (5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (162)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{1}{3} (c \ln (x)) + \frac{1}{3} (5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $\frac{1}{3} (c \ln (x))$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Kombiniere $c$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c}{3} \ln (x) + \frac{1}{3} (5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Schritt 4.1.2.2.2

Kombiniere $\frac{c}{3}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{1}{3} (5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $\frac{1}{3} (5 \ln (y))$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5}{3} \ln (y) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Schritt 4.1.2.3.2

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $\ln (y)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$ .

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Schritt 5.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Schritt 5.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{1}{3} \ln (6) + \frac{1}{3} (d \ln (y))$

Schritt 5.1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (6)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} + \frac{1}{3} (d \ln (y))$

Schritt 5.1.2.3

Multipliziere $\frac{1}{3} (d \ln (y))$ .

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Schritt 5.1.2.3.1

Kombiniere $d$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} + \frac{d}{3} \ln (y)$

Schritt 5.1.2.3.2

Kombiniere $\frac{d}{3}$ und $\ln (y)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} + \frac{d \ln (y)}{3}$

Schritt 6

Stelle $\frac{\ln (162)}{3}$ und $\frac{c \ln (x)}{3}$ um.

$\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} + \frac{d \ln (y)}{3}$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Bewege $\frac{\ln (6)}{3}$ .

$\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{d \ln (y)}{3} + \frac{\ln (6)}{3}$

Schritt 7.2

Bewege $\ln (3 y)$ .

$\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \frac{d \ln (y)}{3} + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3}$

Schritt 7.3

Stelle $2 \ln (x)$ und $\frac{d \ln (y)}{3}$ um.

$\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = \frac{d \ln (y)}{3} + 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3}$

Schritt 8

Multipliziere jeden Term in $\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = \frac{d \ln (y)}{3} + 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3}$ mit $3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 8.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = \frac{d \ln (y)}{3} + 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3}$ mit $3$ .

$\frac{c \ln (x)}{3} \cdot 3 + \frac{\ln (162)}{3} \cdot 3 + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{c \ln (x)}{3} \cdot 3 + \frac{\ln (162)}{3} \cdot 3 + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$c \ln (x) + \frac{\ln (162)}{3} \cdot 3 + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Schritt 8.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c \ln (x) + \frac{\ln (162)}{3} \cdot 3 + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Schritt 8.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$c \ln (x) + \ln (162) + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Schritt 8.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c \ln (x) + \ln (162) + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Schritt 8.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Schritt 8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = d \ln (y) + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Schritt 8.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = d \ln (y) + 6 \ln (x) + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Schritt 8.3.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (3 y)$ .

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \cdot \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Schritt 8.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Schritt 8.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \ln (3 y) + \ln (6)$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) - d \ln (y) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) - \ln (6) = 0$

Schritt 10

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$c \ln (x) + \ln (\frac{162}{6}) + 5 \ln (y) - d \ln (y) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) = 0$

Schritt 11

Dividiere $162$ durch $6$ .

$c \ln (x) + \ln (27) + 5 \ln (y) - d \ln (y) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) = 0$

Schritt 12

Bringe alle Terme, die nicht $c$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1

Subtrahiere $\ln (27)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$c \ln (x) + 5 \ln (y) - d \ln (y) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) = - \ln (27)$

Schritt 12.2

Subtrahiere $5 \ln (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$c \ln (x) - d \ln (y) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) = - \ln (27) - 5 \ln (y)$

Schritt 12.3

Addiere $d \ln (y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$c \ln (x) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) = - \ln (27) - 5 \ln (y) + d \ln (y)$

Schritt 12.4

Addiere $6 \ln (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$c \ln (x) - 3 \ln (3 y) = - \ln (27) - 5 \ln (y) + d \ln (y) + 6 \ln (x)$

Schritt 12.5

Addiere $3 \ln (3 y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$c \ln (x) = - \ln (27) - 5 \ln (y) + d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \ln (3 y)$

Schritt 13

Teile jeden Ausdruck in $c \ln (x) = - \ln (27) - 5 \ln (y) + d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \ln (3 y)$ durch $\ln (x)$ und vereinfache.

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Schritt 13.1

Teile jeden Ausdruck in $c \ln (x) = - \ln (27) - 5 \ln (y) + d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \ln (3 y)$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{c \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (27)}{\ln (x)} + \frac{- 5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Schritt 13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{c \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (27)}{\ln (x)} + \frac{- 5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Schritt 13.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{- \ln (27)}{\ln (x)} + \frac{- 5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Schritt 13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$c = - \frac{\ln (27)}{\ln (x)} + \frac{- 5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Schritt 13.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$c = - \frac{\ln (27)}{\ln (x)} - \frac{5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Schritt 13.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 13.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c = - \frac{\ln (27)}{\ln (x)} - \frac{5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Schritt 13.3.1.3.2

Dividiere $6$ durch $1$ .

$c = - \frac{\ln (27)}{\ln (x)} - \frac{5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + 6 + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$