Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{5 x^{2} - 10 x + 5}{2 x^{2} - x - 1}$

Schritt 1

Faktorisiere $5 x^{2} - 10 x + 5$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} - 10 x + 5$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$f (x) = \frac{5 (x^{2}) - 10 x + 5}{2 x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 10 x$ heraus.

$f (x) = \frac{5 (x^{2}) + 5 (- 2 x) + 5}{2 x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f (x) = \frac{5 (x^{2}) + 5 (- 2 x) + 5 (1)}{2 x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{2}) + 5 (- 2 x)$ heraus.

$f (x) = \frac{5 (x^{2} - 2 x) + 5 (1)}{2 x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{2} - 2 x) + 5 (1)$ heraus.

$f (x) = \frac{5 (x^{2} - 2 x + 1)}{2 x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x) = \frac{5 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{2 x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (x) = \frac{5 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{2 x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{2 x^{2} - x - 1}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{2 x^{2} - (x) - 1}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{2 x^{2} + (1 - 2) x - 1}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{2 x^{2} + x - 2 x - 1}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{(2 x^{2} + x) - 2 x - 1}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{x (2 x + 1) - (2 x + 1)}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{(2 x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 1)}^{2}$ und $x - 1$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $5 {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$f (x) = \frac{(x - 1) (5 (x - 1))}{(2 x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(2 x + 1) (x - 1)$ heraus.

$f (x) = \frac{(x - 1) (5 (x - 1))}{(x - 1) (2 x + 1)}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{(x - 1) (5 (x - 1))}{(x - 1) (2 x + 1)}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \frac{5 (x - 1)}{2 x + 1}$

Schritt 4

Um die Lücken im Graph zu ermittenl, betrachte die Faktoren im Nenner, die gekürzt wurden.

$x - 1$

Schritt 5

Um die Koordinaten der Lücken zu finden, setze jeden Faktor, der gekürzt wurde, gleich $0$ , löse und substituiere zurück in $\frac{5 (x - 1)}{2 x + 1}$ .

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Schritt 5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.3

Setze $1$ für $x$ in $\frac{5 (x - 1)}{2 x + 1}$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Setze $1$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$\frac{5 (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{5 \cdot 0}{2 \cdot 1 + 1}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{5 \cdot 0}{2 + 1}$

Schritt 5.3.2.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{5 \cdot 0}{3}$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0}{3}$

Schritt 5.3.2.4

Dividiere $0$ durch $3$ .

$0$

Schritt 5.4

Die Lücken im Graph sind die Punkte, bei denen jeder der gekürzten Faktoren gleich $0$ ist.

$(1, 0)$

Schritt 6