Algebra Beispiele

${(x^{2} + 3)}^{2} + 21 = 10 x^{2} + 30$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $10 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x^{2} + 3)}^{2} + 21 - 10 x^{2} = 30$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Schreibe ${(x^{2} + 3)}^{2}$ als $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ um.

$(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + 21 - 10 x^{2} = 30$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (x^{2} + 3) + 3 (x^{2} + 3) + 21 - 10 x^{2} = 30$

Schritt 1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 (x^{2} + 3) + 21 - 10 x^{2} = 30$

Schritt 1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3 + 21 - 10 x^{2} = 30$

Schritt 1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3 + 21 - 10 x^{2} = 30$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3 + 21 - 10 x^{2} = 30$

Schritt 1.2.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{4} + 3 \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot 3 + 21 - 10 x^{2} = 30$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 9 + 21 - 10 x^{2} = 30$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $3 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$x^{4} + 6 x^{2} + 9 + 21 - 10 x^{2} = 30$

Schritt 1.3

Subtrahiere $10 x^{2}$ von $6 x^{2}$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 9 + 21 = 30$

Schritt 1.4

Addiere $9$ und $21$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 30 = 30$

Schritt 2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 4 u + 30 = 30$

$u = x^{2}$

Schritt 3

Subtrahiere $30$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 4 u + 30 - 30 = 0$

Schritt 4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $u^{2} - 4 u + 30 - 30$ .

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Schritt 4.1

Subtrahiere $30$ von $30$ .

$u^{2} - 4 u + 0 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $u^{2} - 4 u$ und $0$ .

$u^{2} - 4 u = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u - 4 u = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $u$ aus $- 4 u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot - 4 = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot - 4$ heraus.

$u (u - 4) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u - 4 = 0$

Schritt 7

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 8

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (u - 4) = 0$ wahr machen.

$u = 0, 4$

Schritt 10

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 0$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Schritt 11

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 0$

Schritt 12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 12.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 12.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 12.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 12.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 13

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 4$

Schritt 14

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 4$

Schritt 14.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 14.3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 14.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 14.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 14.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 14.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 14.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 14.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 15

Die Lösung von $x^{4} - 4 x^{2} + 30 = 30$ ist $x = 0, 2, - 2$ .

$x = 0, 2, - 2$