Algebra Beispiele

$\frac{2 x + 7}{x - 5} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{2 x + 7}{x - 5} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 5^{2}}$

Schritt 1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{2 x + 7}{x - 5} - \frac{5}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Schritt 1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{2 x + 7}{x - 5} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2

Um $\frac{2 x + 7}{x - 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{2 x + 7}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(x - 5)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{2 x + 7}{x - 5}$ mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{(2 x + 7) (x - 5)}{(x - 5) (x - 5)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 3.2

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$\frac{(2 x + 7) (x - 5)}{{(x - 5)}^{1} (x - 5)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 3.3

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$\frac{(2 x + 7) (x - 5)}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(2 x + 7) (x - 5)}{{(x - 5)}^{1 + 1}} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(2 x + 7) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(2 x + 7) (x - 5) - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(2 x + 7) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x (x - 5) + 7 (x - 5) - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 7 (x - 5) - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 7 x + 7 \cdot - 5 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 + 7 x + 7 \cdot - 5 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 + 7 x + 7 \cdot - 5 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 7 x + 7 \cdot - 5 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 7 x - 35 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 10 x$ und $7 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 35 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $5$ von $- 35$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 40}{{(x - 5)}^{2}}$