Algebra Beispiele

$\frac{3 x}{7 - x} < x$

Schritt 1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{3 x}{7 - x} - x < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{3 x}{7 - x} - x$ .

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Schritt 2.1

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$\frac{3 x}{7 - x} - x \cdot \frac{7 - x}{7 - x} < 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- x$ und $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$\frac{3 x}{7 - x} + \frac{- x (7 - x)}{7 - x} < 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x - x (7 - x)}{7 - x} < 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x - x (7 - x)$ heraus.

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 3 - x (7 - x)}{7 - x} < 0$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x (7 - x)$ heraus.

$\frac{x \cdot 3 + x (- (7 - x))}{7 - x} < 0$

Schritt 2.4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 3 + x (- (7 - x))$ heraus.

$\frac{x (3 - (7 - x))}{7 - x} < 0$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 - 1 \cdot 7 - - x)}{7 - x} < 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{x (3 - 7 - - x)}{7 - x} < 0$

Schritt 2.4.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 2.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x (3 - 7 + 1 x)}{7 - x} < 0$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (3 - 7 + x)}{7 - x} < 0$

Schritt 2.4.5

Subtrahiere $7$ von $3$ .

$\frac{x (- 4 + x)}{7 - x} < 0$

Schritt 2.5

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{x (- 1 (4) + x)}{7 - x} < 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{x (- 1 (4) - 1 (- x))}{7 - x} < 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - 1 (- x)$ heraus.

$\frac{x (- 1 (4 - x))}{7 - x} < 0$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x (4 - x)}{7 - x} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$- x = 0$

$4 - x = 0$

$7 - x = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 7

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 7$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 7$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 7$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Dividiere $- 7$ durch $- 1$ .

$x = 7$

Schritt 9

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 4$

$x = 7$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 4, 7$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x (4 - x)}{7 - x}$ .

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Schritt 11.1

Setze den Nenner in $\frac{x (4 - x)}{7 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$7 - x = 0$

Schritt 11.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 7$

Schritt 11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 7$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 7$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 11.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 11.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.2.3.1

Dividiere $- 7$ durch $- 1$ .

$x = 7$

Schritt 11.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 12

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 13

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 13.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 13.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (- 2)}{7 - (- 2)} < - 2$

Schritt 13.1.3

Die linke Seite $- 0.\overline{6}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 13.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 13.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (2)}{7 - (2)} < 2$

Schritt 13.2.3

Die linke Seite $1.2$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 13.3

Teste einen Wert im Intervall $4 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $4 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 13.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (6)}{7 - (6)} < 6$

Schritt 13.3.3

Die linke Seite $18$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 13.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 13.4.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (10)}{7 - (10)} < 10$

Schritt 13.4.3

Die linke Seite $- 10$ ist kleiner als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 13.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$4 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$4 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

Schritt 14

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < 4$ oder $x > 7$

Schritt 15

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(0, 4) \cup (7, \infty)$

Schritt 16