Algebra Beispiele

$a^{20} - a^{16} + a^{12} - a^{8} + a^{4} - a^{2}$

Schritt 1

Faktorisiere $a^{2}$ aus $a^{20} - a^{16} + a^{12} - a^{8} + a^{4} - a^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $a^{2}$ aus $a^{20}$ heraus.

$a^{2} a^{18} - a^{16} + a^{12} - a^{8} + a^{4} - a^{2}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $a^{2}$ aus $- a^{16}$ heraus.

$a^{2} a^{18} + a^{2} (- a^{14}) + a^{12} - a^{8} + a^{4} - a^{2}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $a^{2}$ aus $a^{12}$ heraus.

$a^{2} a^{18} + a^{2} (- a^{14}) + a^{2} a^{10} - a^{8} + a^{4} - a^{2}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $a^{2}$ aus $- a^{8}$ heraus.

$a^{2} a^{18} + a^{2} (- a^{14}) + a^{2} a^{10} + a^{2} (- a^{6}) + a^{4} - a^{2}$

Schritt 1.5

Faktorisiere $a^{2}$ aus $a^{4}$ heraus.

$a^{2} a^{18} + a^{2} (- a^{14}) + a^{2} a^{10} + a^{2} (- a^{6}) + a^{2} a^{2} - a^{2}$

Schritt 1.6

Faktorisiere $a^{2}$ aus $- a^{2}$ heraus.

$a^{2} a^{18} + a^{2} (- a^{14}) + a^{2} a^{10} + a^{2} (- a^{6}) + a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.7

Faktorisiere $a^{2}$ aus $a^{2} a^{18} + a^{2} (- a^{14})$ heraus.

$a^{2} (a^{18} - a^{14}) + a^{2} a^{10} + a^{2} (- a^{6}) + a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.8

Faktorisiere $a^{2}$ aus $a^{2} (a^{18} - a^{14}) + a^{2} a^{10}$ heraus.

$a^{2} (a^{18} - a^{14} + a^{10}) + a^{2} (- a^{6}) + a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.9

Faktorisiere $a^{2}$ aus $a^{2} (a^{18} - a^{14} + a^{10}) + a^{2} (- a^{6})$ heraus.

$a^{2} (a^{18} - a^{14} + a^{10} - a^{6}) + a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.10

Faktorisiere $a^{2}$ aus $a^{2} (a^{18} - a^{14} + a^{10} - a^{6}) + a^{2} a^{2}$ heraus.

$a^{2} (a^{18} - a^{14} + a^{10} - a^{6} + a^{2}) + a^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.11

Faktorisiere $a^{2}$ aus $a^{2} (a^{18} - a^{14} + a^{10} - a^{6} + a^{2}) + a^{2} \cdot - 1$ heraus.

$a^{2} (a^{18} - a^{14} + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Schritt 2

Faktorisiere $a^{14}$ aus $a^{18} - a^{14}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $a^{14}$ aus $a^{18}$ heraus.

$a^{2} (a^{14} a^{4} - a^{14} + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Schritt 2.2

Faktorisiere $a^{14}$ aus $- a^{14}$ heraus.

$a^{2} (a^{14} a^{4} + a^{14} \cdot - 1 + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Schritt 2.3

Faktorisiere $a^{14}$ aus $a^{14} a^{4} + a^{14} \cdot - 1$ heraus.

$a^{2} (a^{14} (a^{4} - 1) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Schritt 3

Schreibe $a^{4}$ als ${(a^{2})}^{2}$ um.

$a^{2} (a^{14} ({(a^{2})}^{2} - 1) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Schritt 4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$a^{2} (a^{14} ({(a^{2})}^{2} - 1^{2}) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a^{2}$ und $b = 1$ .

$a^{2} (a^{14} ((a^{2} + 1) (a^{2} - 1)) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$a^{2} (a^{14} ((a^{2} + 1) (a^{2} - 1^{2})) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$a^{2} (a^{14} ((a^{2} + 1) ((a + 1) (a - 1))) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Schritt 6.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$a^{2} (a^{14} ((a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1)) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Schritt 7

Faktorisiere $a^{6}$ aus $a^{10} - a^{6}$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $a^{6}$ aus $a^{10}$ heraus.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} a^{4} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $a^{6}$ aus $- a^{6}$ heraus.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} a^{4} + a^{6} \cdot - 1 + a^{2} - 1)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $a^{6}$ aus $a^{6} a^{4} + a^{6} \cdot - 1$ heraus.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} (a^{4} - 1) + a^{2} - 1)$

Schritt 8

Schreibe $a^{4}$ als ${(a^{2})}^{2}$ um.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} ({(a^{2})}^{2} - 1) + a^{2} - 1)$

Schritt 9

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} ({(a^{2})}^{2} - 1^{2}) + a^{2} - 1)$

Schritt 10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a^{2}$ und $b = 1$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} ((a^{2} + 1) (a^{2} - 1)) + a^{2} - 1)$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} ((a^{2} + 1) (a^{2} - 1^{2})) + a^{2} - 1)$

Schritt 11.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 11.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} ((a^{2} + 1) ((a + 1) (a - 1))) + a^{2} - 1)$

Schritt 11.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} ((a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1)) + a^{2} - 1)$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{2} - 1)$

Schritt 12

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{2} - 1^{2})$

Schritt 13

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1))$

Schritt 14

Faktorisiere $(a + 1) (a - 1)$ aus $a^{6} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1)$ heraus.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $(a + 1) (a - 1)$ aus $a^{6} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1)$ heraus.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{6} (a^{2} + 1)) + (a + 1) (a - 1))$

Schritt 14.2

Faktorisiere $(a + 1) (a - 1)$ aus $(a + 1) (a - 1)$ heraus.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{6} (a^{2} + 1)) + (a + 1) (a - 1) (1))$

Schritt 14.3

Faktorisiere $(a + 1) (a - 1)$ aus $(a + 1) (a - 1) (a^{6} (a^{2} + 1)) + (a + 1) (a - 1) (1)$ heraus.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{6} (a^{2} + 1) + 1))$

Schritt 15

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{6} a^{2} + a^{6} \cdot 1 + 1))$

Schritt 16

Multipliziere $a^{6}$ mit $a^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{6 + 2} + a^{6} \cdot 1 + 1))$

Schritt 16.2

Addiere $6$ und $2$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{8} + a^{6} \cdot 1 + 1))$

Schritt 17

Mutltipliziere $a^{6}$ mit $1$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{8} + a^{6} + 1))$

Schritt 18

Faktorisiere $(a + 1) (a - 1)$ aus $a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{8} + a^{6} + 1)$ heraus.

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Schritt 18.1

Faktorisiere $(a + 1) (a - 1)$ aus $a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1)$ heraus.

$a^{2} ((a + 1) (a - 1) (a^{14} (a^{2} + 1)) + (a + 1) (a - 1) (a^{8} + a^{6} + 1))$

Schritt 18.2

Faktorisiere $(a + 1) (a - 1)$ aus $(a + 1) (a - 1) (a^{14} (a^{2} + 1)) + (a + 1) (a - 1) (a^{8} + a^{6} + 1)$ heraus.

$a^{2} ((a + 1) (a - 1) (a^{14} (a^{2} + 1) + a^{8} + a^{6} + 1))$

Schritt 19

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} ((a + 1) (a - 1) (a^{14} a^{2} + a^{14} \cdot 1 + a^{8} + a^{6} + 1))$

Schritt 20

Multipliziere $a^{14}$ mit $a^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 20.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{2} ((a + 1) (a - 1) (a^{14 + 2} + a^{14} \cdot 1 + a^{8} + a^{6} + 1))$

Schritt 20.2

Addiere $14$ und $2$ .

$a^{2} ((a + 1) (a - 1) (a^{16} + a^{14} \cdot 1 + a^{8} + a^{6} + 1))$

Schritt 21

Mutltipliziere $a^{14}$ mit $1$ .

$a^{2} ((a + 1) (a - 1) (a^{16} + a^{14} + a^{8} + a^{6} + 1))$

Schritt 22

Entferne unnötige Klammern.

$a^{2} (a + 1) (a - 1) (a^{16} + a^{14} + a^{8} + a^{6} + 1)$