Algebra Beispiele

${(\frac{4}{6})}^{x} \geq \frac{36}{16}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{4}{6})}^{x}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(\frac{4}{6})}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (\frac{4}{6}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{4}{6}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x \ln (\frac{2 (2)}{6}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x \ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Schritt 2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Schritt 2.3

Schreibe $\ln (\frac{2}{3})$ als $\ln (2) - \ln (3)$ um.

$x (\ln (2) - \ln (3)) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{4 (9)}{16})$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4})$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4})$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{9}{4})$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{9}{4})$ durch $\ln (\frac{2}{3})$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{9}{4})$ durch $\ln (\frac{2}{3})$ .

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} \geq \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (\frac{2}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} \geq \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}]$

Schritt 8