Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 18 x + 40}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Schritt 1

Faktorisiere $2 x^{2} + 18 x + 40$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 18 x + 40$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$f (x) = \frac{2 (x^{2}) + 18 x + 40}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $18 x$ heraus.

$f (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (9 x) + 40}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $40$ heraus.

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (9 x) + 2 \cdot 20}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (9 x)$ heraus.

$f (x) = \frac{2 (x^{2} + 9 x) + 2 \cdot 20}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + 9 x) + 2 \cdot 20$ heraus.

$f (x) = \frac{2 (x^{2} + 9 x + 20)}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $9$ ist.

$4, 5$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = \frac{2 ((x + 4) (x + 5))}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 25 = - 75$ und deren Summe gleich $b = 10$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{3 x^{2} + 10 (x) - 25}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $10$ um als $- 5$ plus $15$

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{3 x^{2} + (- 5 + 15) x - 25}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{3 x^{2} - 5 x + 15 x - 25}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{(3 x^{2} - 5 x) + 15 x - 25}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{x (3 x - 5) + 5 (3 x - 5)}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 5$ .

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{(3 x - 5) (x + 5)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{(3 x - 5) (x + 5)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \frac{2 (x + 4)}{3 x - 5}$

Schritt 4

Um die Lücken im Graph zu ermittenl, betrachte die Faktoren im Nenner, die gekürzt wurden.

$x + 5$

Schritt 5

Um die Koordinaten der Lücken zu finden, setze jeden Faktor, der gekürzt wurde, gleich $0$ , löse und substituiere zurück in $\frac{2 (x + 4)}{3 x - 5}$ .

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Schritt 5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 5.3

Setze $- 5$ für $x$ in $\frac{2 (x + 4)}{3 x - 5}$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Setze $- 5$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$\frac{2 (- 5 + 4)}{3 \cdot - 5 - 5}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Addiere $- 5$ und $4$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{3 \cdot - 5 - 5}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{- 15 - 5}$

Schritt 5.3.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 15$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{- 20}$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{- 20}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $- 20$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{- 2 (1)}{- 20}$

Schritt 5.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.4.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 20$ heraus.

$\frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 10}$

Schritt 5.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 10}$

Schritt 5.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10}$

Schritt 5.4

Die Lücken im Graph sind die Punkte, bei denen jeder der gekürzten Faktoren gleich $0$ ist.

$(- 5, \frac{1}{10})$

Schritt 6