Algebra Beispiele

$\frac{x^{3} - 9 x}{x^{2} + 10 x + 21} \cdot \frac{x^{2} + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 9 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} - 9 x}{x^{2} + 10 x + 21} \cdot \frac{x^{2} + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 9 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 9}{x^{2} + 10 x + 21} \cdot \frac{x^{2} + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ heraus.

$\frac{x (x^{2} - 9)}{x^{2} + 10 x + 21} \cdot \frac{x^{2} + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Schritt 1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x (x^{2} - 3^{2})}{x^{2} + 10 x + 21} \cdot \frac{x^{2} + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 10 x + 21} \cdot \frac{x^{2} + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + 10 x + 21$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $21$ und deren Summe $10$ ist.

$3, 7$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Schritt 3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 7 x$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x \cdot x + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x$ aus $7 x$ heraus.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x \cdot x + x \cdot 7}{x^{2} + 5 x - 24}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 7$ heraus.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x (x + 7)}{x^{2} + 5 x - 24}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} + 5 x - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $5$ ist.

$- 3, 8$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x (x + 7)}{(x - 3) (x + 8)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $x (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$\frac{(x - 3) (x (x + 3))}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x (x + 7)}{(x - 3) (x + 8)}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (x (x + 3))}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x (x + 7)}{(x - 3) (x + 8)}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (x + 3)}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x (x + 7)}{x + 8}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x + 7$ aus $(x + 3) (x + 7)$ heraus.

$\frac{x (x + 3)}{(x + 7) (x + 3)} \cdot \frac{x (x + 7)}{x + 8}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x + 7$ aus $x (x + 7)$ heraus.

$\frac{x (x + 3)}{(x + 7) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 7) x}{x + 8}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x + 3)}{(x + 7) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 7) x}{x + 8}$

Schritt 5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (x + 3)}{x + 3} \cdot \frac{x}{x + 8}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{x (x + 3)}{x + 3}$ mit $\frac{x}{x + 8}$ .

$\frac{x (x + 3) x}{(x + 3) (x + 8)}$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x (x + 3)}{(x + 3) (x + 8)}$

Schritt 7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} (x + 3)}{(x + 3) (x + 8)}$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 1} (x + 3)}{(x + 3) (x + 8)}$

Schritt 9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} (x + 3)}{(x + 3) (x + 8)}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (x + 3)}{(x + 3) (x + 8)}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{x + 8}$