Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} = 0$

${(x + 1)}^{3} = 0$

$x - 7 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - 1 = 0$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 7

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 8

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 9

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = 1$

Schritt 10

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 10.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Schritt 11

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 12

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 13

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 13.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 13.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 13.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 14

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - 1$

$x = 7$

$x = - 3$

$x = i, - i$

Schritt 15

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 1, 7, - 3$

Schritt 16

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)}$ .

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Schritt 16.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1) = 0$

Schritt 16.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 16.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - 1 = 0$

Schritt 16.2.2

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 16.2.2.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 16.2.2.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 16.2.3

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 16.2.3.1

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 16.2.3.2

Löse ${(x + 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 16.2.3.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 16.2.3.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 16.2.4

Setze $- x^{2} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 16.2.4.1

Setze $- x^{2} - 1$ gleich $0$ .

$- x^{2} - 1 = 0$

Schritt 16.2.4.2

Löse $- x^{2} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 16.2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = 1$

Schritt 16.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 16.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 16.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 16.2.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 16.2.4.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 16.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 16.2.4.2.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Schritt 16.2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 16.2.4.2.4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 16.2.4.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 16.2.4.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 16.2.4.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 16.2.4.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 16.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 7, - 3, i, - i$

Schritt 16.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 17

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 18

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 18.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 18.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 18.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 6)}^{2} {((- 6) + 1)}^{3}}{((- 6) - 7) {((- 6) + 3)}^{2} (- {(- 6)}^{2} - 1)} \leq 0$

Schritt 18.1.3

Die linke Seite $- 1.\overline{039501}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 18.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 18.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 18.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 2)}^{2} {((- 2) + 1)}^{3}}{((- 2) - 7) {((- 2) + 3)}^{2} (- {(- 2)}^{2} - 1)} \leq 0$

Schritt 18.2.3

Die linke Seite $- 0.0\overline{8}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 18.3

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 18.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.5$

Schritt 18.3.2

Ersetze $x$ durch $- 0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} {((- 0.5) + 1)}^{3}}{((- 0.5) - 7) {((- 0.5) + 3)}^{2} (- {(- 0.5)}^{2} - 1)} \leq 0$

Schritt 18.3.3

Die linke Seite $0.0005\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 18.4

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 18.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 18.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(4)}^{2} {((4) + 1)}^{3}}{((4) - 7) {((4) + 3)}^{2} (- {(4)}^{2} - 1)} \leq 0$

Schritt 18.4.3

Die linke Seite $0.80032012$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 18.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 18.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 18.5.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(10)}^{2} {((10) + 1)}^{3}}{((10) - 7) {((10) + 3)}^{2} (- {(10)}^{2} - 1)} \leq 0$

Schritt 18.5.3

Die linke Seite $- 2.599254$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 18.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

Schritt 19

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 3$ oder $- 3 < x \leq - 1$ oder $x > 7$ oder $x = 0$

Schritt 20

Vereine die Intervalle.

$x < - 3 or - 3 < x \leq - 1 or x = 0 or x > 7$

Schritt 21

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 3 or - 3 < x \leq - 1 or x = 0 or x > 7$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1] \cup [0, 0] \cup (7, \infty)$

Schritt 22