Algebra Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{2} \sqrt{x + 3}$ , $x \geq - 3$

Schritt 1

Ermittele den Wertebereich der gegebenen Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

$(- \infty, 0]$

Schritt 1.2

Wandle $(- \infty, 0]$ in eine Ungleichung um.

$y \leq 0$

Schritt 2

Ermittle die Umkehrfunktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$ um.

$- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$

Schritt 2.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}) = - 2 x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1.1

Kombiniere $\sqrt{y + 3}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}) = - 2 x$

Schritt 2.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Schritt 2.2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Schritt 2.2.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Schritt 2.2.3.1.3

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Schritt 2.2.3.1.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{y + 3}$ mit $1$ .

$\sqrt{y + 3} = - 2 x$

Schritt 2.2.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 3}$ als ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.1

Vereinfache ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 2.2.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 2.2.5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 3)}^{1} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 2.2.5.2.1.2

Vereinfache.

$y + 3 = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1

Vereinfache ${(- 2 x)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$y + 3 = {(- 2)}^{2} x^{2}$

Schritt 2.2.5.3.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y + 3 = 4 x^{2}$

Schritt 2.2.6

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 4 x^{2} - 3$

Schritt 2.3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$

Schritt 3

Ermittele die Inverse mithilfe des Definitions- und Wertebereichs der ursprünglichen Funktion.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3, x \leq 0$

Schritt 4