Algebra Beispiele

$| x - 4 | = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 6 x + 9 = | x - 4 |$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $| x - 4 | = x^{2} - 6 x + 9$ um.

$| x - 4 | = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 4 = \pm (x^{2} - 6 x + 9)$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 4 = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 4.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 6 x + 9 = x - 4$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 6 x + 9 - x = - 4$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $x$ von $- 6 x$ .

$x^{2} - 7 x + 9 = - 4$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 7 x + 9 + 4 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $9$ und $4$ .

$x^{2} - 7 x + 13 = 0$

Schritt 4.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 7$ und $c = 13$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7

Vereinfache.

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Schritt 4.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Schritt 4.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.3

Subtrahiere $52$ von $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{7 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{7 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{7 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.9

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 4 = - (x^{2} - 6 x + 9)$

Schritt 4.10

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- (x^{2} - 6 x + 9) = x - 4$

Schritt 4.11

Vereinfache $- (x^{2} - 6 x + 9)$ .

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Schritt 4.11.1

Forme um.

$0 + 0 - (x^{2} - 6 x + 9) = x - 4$

Schritt 4.11.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- (x^{2} - 6 x + 9) = x - 4$

Schritt 4.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9 = x - 4$

Schritt 4.11.4

Vereinfache.

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Schritt 4.11.4.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$- x^{2} + 6 x - 1 \cdot 9 = x - 4$

Schritt 4.11.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- x^{2} + 6 x - 9 = x - 4$

Schritt 4.12

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.12.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 6 x - 9 - x = - 4$

Schritt 4.12.2

Subtrahiere $x$ von $6 x$ .

$- x^{2} + 5 x - 9 = - 4$

Schritt 4.13

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.13.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 5 x - 9 + 4 = 0$

Schritt 4.13.2

Addiere $- 9$ und $4$ .

$- x^{2} + 5 x - 5 = 0$

Schritt 4.14

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.15

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 5$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 5)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.16

Vereinfache.

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Schritt 4.16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.16.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 1 \cdot - 5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.16.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 4.16.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 4 \cdot - 5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.16.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 20}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.16.1.3

Subtrahiere $20$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.16.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 4.16.3

Vereinfache $\frac{- 5 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.17

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.18

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{7 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 + \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$