Algebra Beispiele

${(\frac{9}{8})}^{3 x + 12} = 1$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{9}{8})}^{3 x + 12}) = \ln (1)$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(\frac{9}{8})}^{3 x + 12})$ durch Herausziehen von $3 x + 12$ aus dem Logarithmus.

$(3 x + 12) \ln (\frac{9}{8}) = \ln (1)$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (\frac{9}{8})$ als $\ln (9) - \ln (8)$ um.

$(3 x + 12) (\ln (9) - \ln (8)) = \ln (1)$

Schritt 2.3

Schreibe $\ln (8)$ als $\ln (2^{3})$ um.

$(3 x + 12) (\ln (9) - \ln (2^{3})) = \ln (1)$

Schritt 2.4

Zerlege $\ln (2^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$(3 x + 12) (\ln (9) - (3 \ln (2))) = \ln (1)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(3 x + 12) (\ln (9) - 3 \ln (2)) = \ln (1)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(3 x + 12) (\ln (9) - 3 \ln (2))$ .

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $(3 x + 12) (\ln (9) - 3 \ln (2))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (\ln (9) - 3 \ln (2)) + 12 (\ln (9) - 3 \ln (2)) = \ln (1)$

Schritt 3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \ln (9) + 3 x (- 3 \ln (2)) + 12 (\ln (9) - 3 \ln (2)) = \ln (1)$

Schritt 3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \ln (9) + 3 x (- 3 \ln (2)) + 12 \ln (9) + 12 (- 3 \ln (2)) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$3 x \ln (9) - 9 x \ln (2) + 12 \ln (9) + 12 (- 3 \ln (2)) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $12$ .

$3 x \ln (9) - 9 x \ln (2) + 12 \ln (9) - 36 \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$3 x \ln (9) - 9 x \ln (2) + 12 \ln (9) - 36 \ln (2) = 0$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $12 \ln (9)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x \ln (9) - 9 x \ln (2) - 36 \ln (2) = - 12 \ln (9)$

Schritt 5.2

Addiere $36 \ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x \ln (9) - 9 x \ln (2) = - 12 \ln (9) + 36 \ln (2)$

Schritt 6

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x \ln (9) - 9 x \ln (2)$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3 x$ aus $- 9 x \ln (2)$ heraus.

$3 x \ln (9) + 3 x (- 3 \ln (2)) = - 12 \ln (9) + 36 \ln (2)$

Schritt 6.2

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x \ln (9) + 3 x (- 3 \ln (2))$ heraus.

$3 x (\ln (9) - 3 \ln (2)) = - 12 \ln (9) + 36 \ln (2)$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $3 x (\ln (9) - 3 \ln (2)) = - 12 \ln (9) + 36 \ln (2)$ durch $3 (\ln (9) - 3 \ln (2))$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x (\ln (9) - 3 \ln (2)) = - 12 \ln (9) + 36 \ln (2)$ durch $3 (\ln (9) - 3 \ln (2))$ .

$\frac{3 x (\ln (9) - 3 \ln (2))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} = \frac{- 12 \ln (9)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x (\ln (9) - 3 \ln (2))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} = \frac{- 12 \ln (9)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Schritt 7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (\ln (9) - 3 \ln (2))}{\ln (9) - 3 \ln (2)} = \frac{- 12 \ln (9)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (9) - 3 \ln (2)$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (9) - 3 \ln (2))}{\ln (9) - 3 \ln (2)} = \frac{- 12 \ln (9)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Schritt 7.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 12 \ln (9)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $3$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 \ln (9)$ heraus.

$x = \frac{3 (- 4 \ln (9))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 (- 4 \ln (9))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 4 \ln (9)}{\ln (9) - 3 \ln (2)} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Schritt 7.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4 \ln (9)}{\ln (9) - 3 \ln (2)} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Schritt 7.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $3$ .

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Schritt 7.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $36 \ln (2)$ heraus.

$x = - \frac{4 \ln (9)}{\ln (9) - 3 \ln (2)} + \frac{3 (12 \ln (2))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Schritt 7.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{4 \ln (9)}{\ln (9) - 3 \ln (2)} + \frac{3 (12 \ln (2))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Schritt 7.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{4 \ln (9)}{\ln (9) - 3 \ln (2)} + \frac{12 \ln (2)}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 4 \ln (9) + 12 \ln (2)}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Schritt 7.3.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \ln (9) + 12 \ln (2)$ heraus.

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Schritt 7.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \ln (9)$ heraus.

$x = \frac{4 (- \ln (9)) + 12 \ln (2)}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Schritt 7.3.2.2.2

Faktorisiere $4$ aus $12 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{4 (- \ln (9)) + 4 (3 \ln (2))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Schritt 7.3.2.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- \ln (9)) + 4 (3 \ln (2))$ heraus.

$x = \frac{4 (- \ln (9) + 3 \ln (2))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Schritt 7.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- \ln (9) + 3 \ln (2)$ und $\ln (9) - 3 \ln (2)$ .

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Schritt 7.3.2.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (9)$ heraus.

$x = \frac{4 (- \ln (9) + 3 \ln (2))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Schritt 7.3.2.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $3 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{4 (- \ln (9) - (- 3 \ln (2)))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Schritt 7.3.2.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (9) - (- 3 \ln (2))$ heraus.

$x = \frac{4 (- (\ln (9) - 3 \ln (2)))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Schritt 7.3.2.3.4

Schreibe $- (\ln (9) - 3 \ln (2))$ als $- 1 (\ln (9) - 3 \ln (2))$ um.

$x = \frac{4 (- 1 (\ln (9) - 3 \ln (2)))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Schritt 7.3.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 (- 1 (\ln (9) - 3 \ln (2)))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Schritt 7.3.2.3.6

Dividiere $4 \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$x = 4 \cdot (- 1)$

Schritt 7.3.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = - 4$