Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{(x - 5) (x - 12)}{(x + 3) (x - 2) (x - 5)}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{(x - 5) (x - 12)}{(x + 3) (x - 2) (x - 5)}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 5) (x - 12) = 0$

Schritt 1.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 12 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 1.2.2.3

Setze $x - 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.3.1

Setze $x - 12$ gleich $0$ .

$x - 12 = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 12$

Schritt 1.2.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x - 12) = 0$ wahr machen.

$x = 5, 12$

Schritt 1.2.3

Schließe die Lösungen aus, die $0 = \frac{(x - 5) (x - 12)}{(x + 3) (x - 2) (x - 5)}$ nicht erfüllen.

$x = 12$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(12, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{((0) - 5) ((0) - 12)}{((0) + 3) ((0) - 2) ((0) - 5)}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{(0 - 5) ((0) - 12)}{((0) + 3) ((0) - 2) ((0) - 5)}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{(0 - 5) (0 - 12)}{((0) + 3) ((0) - 2) ((0) - 5)}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = \frac{(0 - 5) (0 - 12)}{(0 + 3) ((0) - 2) ((0) - 5)}$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = \frac{(0 - 5) (0 - 12)}{(0 + 3) (0 - 2) ((0) - 5)}$

Schritt 2.2.5

Entferne die Klammern.

$y = \frac{(0 - 5) (0 - 12)}{(0 + 3) (0 - 2) (0 - 5)}$

Schritt 2.2.6

Entferne die Klammern.

$y = \frac{((0) - 5) ((0) - 12)}{((0) + 3) ((0) - 2) ((0) - 5)}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache $\frac{((0) - 5) ((0) - 12)}{((0) + 3) ((0) - 2) ((0) - 5)}$ .

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Schritt 2.2.7.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(0) - 5$ .

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Schritt 2.2.7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{((0) - 5) ((0) - 12)}{((0) + 3) ((0) - 2) ((0) - 5)}$

Schritt 2.2.7.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{(0) - 12}{((0) + 3) ((0) - 2)}$

Schritt 2.2.7.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $(0) - 12$ und $(0) + 3$ .

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Schritt 2.2.7.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$y = \frac{3 (0) - 12}{((0) + 3) ((0) - 2)}$

Schritt 2.2.7.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot 0 + 3 \cdot - 4}{((0) + 3) ((0) - 2)}$

Schritt 2.2.7.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 0 + 3 \cdot - 4$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot (0 - 4)}{((0) + 3) ((0) - 2)}$

Schritt 2.2.7.1.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.7.1.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $((0) + 3) ((0) - 2)$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot (0 - 4)}{3 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

Schritt 2.2.7.1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 \cdot (0 - 4)}{3 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

Schritt 2.2.7.1.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{0 - 4}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Schritt 2.2.7.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0 - 4$ und $(0) - 2$ .

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Schritt 2.2.7.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$y = \frac{2 (0) - 4}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Schritt 2.2.7.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 2}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Schritt 2.2.7.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 2$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot (0 - 2)}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Schritt 2.2.7.1.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.7.1.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $(0 + 1) ((0) - 2)$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot (0 - 2)}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

Schritt 2.2.7.1.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot (0 - 2)}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

Schritt 2.2.7.1.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{0 - 2}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Schritt 2.2.7.1.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$y = \frac{- 2}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Schritt 2.2.7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.7.2.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$y = \frac{- 2}{(- 1 (0) + 1) (0 - 1)}$

Schritt 2.2.7.2.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y = \frac{- 2}{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1) (0 - 1)}$

Schritt 2.2.7.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ heraus.

$y = \frac{- 2}{- 1 \cdot (0 - 1) (0 - 1)}$

Schritt 2.2.7.2.4

Potenziere $0 - 1$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{1} (0 - 1))}$

Schritt 2.2.7.2.5

Potenziere $0 - 1$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{1} {(0 - 1)}^{1})}$

Schritt 2.2.7.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{- 2}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{1 + 1}}$

Schritt 2.2.7.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{- 2}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.7.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.7.3.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$y = \frac{- 2}{- 1 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.7.3.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2}{- 1 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.7.4.2

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$y = 2$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 2)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(12, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 2)$

Schritt 4