Algebra Beispiele

$f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int a {(x - h)}^{2} d x + \int k d x$

Schritt 3

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $a$ aus dem Integral.

$a \int {(x - h)}^{2} d x + \int k d x$

Schritt 4

Sei $u = x - h$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = x - h$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x - h$ .

$\frac{d}{d x} [x - h]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - h$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- h]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- h]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- h]$

Schritt 4.1.4

Da $- h$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- h$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$a \int u^{2} d u + \int k d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$a (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int k d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$a (\frac{1}{3} u^{3} + C) + k x + C$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$a (\frac{u^{3}}{3} + C) + k x + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

$\frac{a u^{3}}{3} + k x + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x - h$ .

$\frac{1}{3} a {(x - h)}^{3} + k x + C$

Schritt 9

Die Funktion $F$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$F (x) = \frac{1}{3} \cdot (a {(x - h)}^{3}) + k x + C$