Algebra Beispiele

$\frac{x^{2}}{x - 3} = \frac{x + 2}{2 x - 5}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$x^{2} (2 x - 5) = (x - 3) (x + 2)$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $x^{2} (2 x - 5)$ .

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Schritt 2.1.1

Forme um.

$0 + 0 + x^{2} (2 x - 5) = (x - 3) (x + 2)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 5 = (x - 3) (x + 2)$

Schritt 2.1.2.2

Stelle um.

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Schritt 2.1.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 = (x - 3) (x + 2)$

Schritt 2.1.2.2.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 x^{2} x - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Schritt 2.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x^{2}) - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x^{2}) - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Schritt 2.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{1 + 2} - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Schritt 2.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 x^{3} - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

$2 x^{3} - 5 x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Schritt 2.2

Vereinfache $(x - 3) (x + 2)$ .

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $(x - 3) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x (x + 2) - 3 (x + 2)$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2)$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2$

Schritt 2.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2$

Schritt 2.2.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} + 2 x - 3 x - 6$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} - x - 6$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - x^{2} = - x - 6$

Schritt 2.3.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - x^{2} + x = - 6$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 5 x^{2}$ .

$2 x^{3} - 6 x^{2} + x = - 6$

Schritt 2.4

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.5.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2.5.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Schritt 2.5.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.5.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 2 + 6$

Schritt 2.5.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 \cdot 8 - 6 \cdot 2^{2} + 2 + 6$

Schritt 2.5.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 - 6 \cdot 2^{2} + 2 + 6$

Schritt 2.5.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$16 - 6 \cdot 4 + 2 + 6$

Schritt 2.5.3.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$16 - 24 + 2 + 6$

Schritt 2.5.3.6

Subtrahiere $24$ von $16$ .

$- 8 + 2 + 6$

Schritt 2.5.3.7

Addiere $- 8$ und $2$ .

$- 6 + 6$

Schritt 2.5.3.8

Addiere $- 6$ und $6$ .

$0$

Schritt 2.5.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6}{x - 2}$

Schritt 2.5.5

Dividiere $2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6$ durch $x - 2$ .

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Schritt 2.5.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$6$

Schritt 2.5.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$

Schritt 2.5.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 2.5.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} - 4 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 2.5.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 2.5.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.5.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.5.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 2.5.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} + 4 x$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 2.5.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$

Schritt 2.5.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$

Schritt 2.5.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$

Schritt 2.5.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	+	$6$

Schritt 2.5.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x + 6$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$

Schritt 2.5.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$
										$0$

Schritt 2.5.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - 2 x - 3$

Schritt 2.5.6

Schreibe $2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 2) (2 x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Schritt 2.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Schritt 2.7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.8

Setze $2 x^{2} - 2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Setze $2 x^{2} - 2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Schritt 2.8.2

Löse $2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.8.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 2$ und $c = - 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 3)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.8.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.8.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 3$ .

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Schritt 2.8.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.8.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.8.2.3.1.3

Addiere $4$ und $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.8.2.3.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.8.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.8.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.8.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.8.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$

Schritt 2.8.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.8.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (2 x^{2} - 2 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

Dezimalform:

$x = 2, 1.82287565 \dots, - 0.82287565 \dots$