Algebra Beispiele

$f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x - h)}^{2}$ als $(x - h) (x - h)$ um.

$f (x) = a ((x - h) (x - h)) + k$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - h) (x - h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = a (x (x - h) - h (x - h)) + k$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + k$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + k$

Schritt 1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 h \cdot h) + k$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere $h$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.4.1

Bewege $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) + k$

Schritt 1.3.1.4.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 h^{2}) + k$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + k$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $h^{2}$ mit $1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + k$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $h x$ von $- x h$ .

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Schritt 1.3.2.1

Bewege $x$ .

$f (x) = a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + k$

Schritt 1.3.2.2

Subtrahiere $h x$ von $- h x$ .

$f (x) = a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + k$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + k$

Schritt 1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x) = a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k$

Schritt 2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k = f (x)$

Schritt 3

Subtrahiere $f (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k - f (x) = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = a$ , $b = - 2 a h$ und $c = a h^{2} + k - f (x)$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 a h)}^{2} - 4 \cdot (a \cdot (a h^{2} + k - f (x)))}}{2 a}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 (a h))}^{2} - 4 \cdot (a \cdot (a h^{2} + k - f (x)))}}{2 a}$

Schritt 6.1.2

Es sei $u = a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ . Ersetze $u$ für alle $a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ .

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Schritt 6.1.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 a h$ an.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 a)}^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 a}$

Schritt 6.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $- 2 a$ an.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} a^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 a}$

Schritt 6.1.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 4 u}}{2 a}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 a^{2} h^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 a^{2} h^{2}$ heraus.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) - 4 u}}{2 a}$

Schritt 6.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- u)}}{2 a}$

Schritt 6.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - u)}}{2 a}$

Schritt 6.1.4

Ersetze alle $u$ durch $a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a \cdot (a h^{2} + k - f (x))))}}{2 a}$

Schritt 6.1.5

Vereinfache.

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Schritt 6.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a (a h^{2}) + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Schritt 6.1.5.1.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.5.1.2.1

Bewege $a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a \cdot a h^{2} + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Schritt 6.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a^{2} h^{2} + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Schritt 6.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a^{2} h^{2}) - (a k) - (a (- f (x))))}}{2 a}$

Schritt 6.1.5.1.4

Multipliziere $- (a (- f (x)))$ .

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Schritt 6.1.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - a^{2} h^{2} - a k + 1 (a (f (x))))}}{2 a}$

Schritt 6.1.5.1.4.2

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - a^{2} h^{2} - a k + a f (x))}}{2 a}$

Schritt 6.1.5.2

Subtrahiere $a^{2} h^{2}$ von $a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (0 - a k + a f (x))}}{2 a}$

Schritt 6.1.5.3

Subtrahiere $a k$ von $0$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (- a k + a f (x))}}{2 a}$

Schritt 6.1.6

Faktorisiere $a$ aus $- a k + a f (x)$ heraus.

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Schritt 6.1.6.1

Faktorisiere $a$ aus $- a k$ heraus.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k) + a f (x))}}{2 a}$

Schritt 6.1.6.2

Faktorisiere $a$ aus $a f (x)$ heraus.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k) + a (f (x)))}}{2 a}$

Schritt 6.1.6.3

Faktorisiere $a$ aus $a (- 1 k) + a (f (x))$ heraus.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k + f (x)))}}{2 a}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $- 1 k$ als $- k$ um.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 a (- k + f (x))}}{2 a}$

Schritt 6.1.8

Schreibe $4 a (- k + f (x))$ als $2^{2} (a (- k + f (x)))$ um.

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Schritt 6.1.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{2^{2} a (- k + f (x))}}{2 a}$

Schritt 6.1.8.2

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{2^{2} (a (- k + f (x)))}}{2 a}$

Schritt 6.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 a h \pm 2 \sqrt{a (- k + f (x))}}{2 a}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\frac{2 a h \pm 2 \sqrt{a (- k + f (x))}}{2 a}$ .

$x = \frac{a h \pm \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{a h + \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}, \frac{a h - \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}$