Algebra Beispiele

$- 3 + 3 x^{5}$

Schritt 1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 + 3 x^{5}$ heraus.

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Schritt 1.1

Stelle $- 3$ und $3 x^{5}$ um.

$3 x^{5} - 3$

Schritt 1.2

Faktorisiere $- 3$ aus $3 x^{5}$ heraus.

$- 3 (- x^{5}) - 3$

Schritt 1.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3$ heraus.

$- 3 (- x^{5}) - 3 (1)$

Schritt 1.4

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (- x^{5}) - 3 (1)$ heraus.

$- 3 (- x^{5} + 1)$

Schritt 2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- x^{5} + 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1$

Schritt 2.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$- 1^{5} + 1$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $1$ mit $5$ .

$- 1 \cdot 1 + 1$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + 1$

Schritt 2.1.3.4

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{5} + 1}{x - 1}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $- x^{5} + 1$ durch $x - 1$ .

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Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{5} + x^{4}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{4} + x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} + x^{2}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Schritt 2.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

Schritt 2.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

Schritt 2.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Schritt 2.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} + x$

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Schritt 2.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Schritt 2.1.5.21

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

Schritt 2.1.5.22

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

Schritt 2.1.5.23

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

Schritt 2.1.5.24

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x + 1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

Schritt 2.1.5.25

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$0$

Schritt 2.1.5.26

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{4} - x^{3} - x^{2} - x - 1$

Schritt 2.1.6

Schreibe $- x^{5} + 1$ als eine Menge von Faktoren.

$- 3 ((x - 1) (- x^{4} - x^{3} - x^{2} - x - 1))$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 (x - 1) (- x^{4} - x^{3} - x^{2} - x - 1)$

Schritt 3

Faktorisiere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4} - x^{3} - x^{2} - x - 1$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4}$ heraus.

$- 3 (x - 1) (- (x^{4}) - x^{3} - x^{2} - x - 1)$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- 3 (x - 1) (- (x^{4}) - (x^{3}) - x^{2} - x - 1)$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- 3 (x - 1) (- (x^{4}) - (x^{3}) - (x^{2}) - x - 1)$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- 3 (x - 1) (- (x^{4}) - (x^{3}) - (x^{2}) - (x) - 1)$

Schritt 3.1.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- 3 (x - 1) (- (x^{4}) - (x^{3}) - (x^{2}) - (x) - 1 (1))$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4}) - (x^{3})$ heraus.

$- 3 (x - 1) (- (x^{4} + x^{3}) - (x^{2}) - (x) - 1 (1))$

Schritt 3.1.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} + x^{3}) - (x^{2})$ heraus.

$- 3 (x - 1) (- (x^{4} + x^{3} + x^{2}) - (x) - 1 (1))$

Schritt 3.1.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} + x^{3} + x^{2}) - (x)$ heraus.

$- 3 (x - 1) (- (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x) - 1 (1))$

Schritt 3.1.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x) - 1 (1)$ heraus.

$- 3 (x - 1) (- (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1))$

Schritt 3.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 (x - 1) \cdot - 1 (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$

Schritt 4

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- (- 3 (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1))$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$3 ((x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1))$

Schritt 5

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$