Algebra Beispiele

$\frac{\tan^{2} (θ) \csc^{2} (θ) - 1}{\sec^{2} (θ)}$

Schritt 1

Schreibe $\tan^{2} (θ) \csc^{2} (θ)$ als ${(\tan (θ) \csc (θ))}^{2}$ um.

$\frac{{(\tan (θ) \csc (θ))}^{2} - 1}{\sec^{2} (θ)}$

Schritt 2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{(\tan (θ) \csc (θ))}^{2} - 1^{2}}{\sec^{2} (θ)}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \tan (θ) \csc (θ)$ und $b = 1$ .

$\frac{(\tan (θ) \csc (θ) + 1) (\tan (θ) \csc (θ) - 1)}{\sec^{2} (θ)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $\tan (θ) \csc (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + 1) (\tan (θ) \csc (θ) - 1)}{\sec^{2} (θ)}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\tan (θ) \csc (θ) - 1)}{\sec^{2} (θ)}$

Schritt 4.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (θ)}$ nach $\sec (θ)$ um.

$\frac{(\sec (θ) + 1) (\tan (θ) \csc (θ) - 1)}{\sec^{2} (θ)}$

Schritt 4.3

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $\tan (θ) \csc (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(\sec (θ) + 1) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} - 1)}{\sec^{2} (θ)}$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{(\sec (θ) + 1) (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)}{\sec^{2} (θ)}$

Schritt 4.4

Wandle von $\frac{1}{\cos (θ)}$ nach $\sec (θ)$ um.

$\frac{(\sec (θ) + 1) (\sec (θ) - 1)}{\sec^{2} (θ)}$