Algebra Beispiele

$x \sqrt{2 - x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 - x}$ als ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 - x$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8.3

Bringe ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.14.2

Kombiniere $\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.14.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.14.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{- x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.14.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.16

Mutltipliziere ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.17

Um ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.18

Kombiniere ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20

Multipliziere ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.20.1

Bewege ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{- x + {(2 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.21

Vereinfache ${(2 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (2 - x) \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.22

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (2 - x)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23

Vereinfache.

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Schritt 1.23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x + 2 \cdot 2 + 2 (- x)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.23.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.23.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- x + 4 + 2 (- x)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- x + 4 - 2 x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$\frac{- 3 x + 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{- (3 x) + 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.4

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{- (3 x) - 1 (- 4)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{- (3 x - 4)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.6

Schreibe $- (3 x - 4)$ als $- 1 (3 x - 4)$ um.

$\frac{- 1 (3 x - 4)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 4}{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x - 4}{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x - 4$ und $g (x) = {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 4) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 4) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 4) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 4) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 4) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Schritt 2.5.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Schritt 2.5.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Schritt 2.5.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 - x$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Schritt 2.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Schritt 2.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Schritt 2.11.3

Bringe ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Schritt 2.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x)))}{2 - x}$

Schritt 2.13

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{2 - x}$

Schritt 2.14

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{2 - x}$

Schritt 2.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{2 - x}$

Schritt 2.16

Multipliziere.

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Schritt 2.16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{2 - x}$

Schritt 2.16.2

Mutltipliziere $3 x - 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{2 - x}$

Schritt 2.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{2 - x}$

Schritt 2.18

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.1

Mutltipliziere $3 x - 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 - x}$

Schritt 2.18.2

Mutltipliziere $\frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 4) \frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{(2 - x) \cdot 2}$

Schritt 2.18.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (2 - x)}$

Schritt 2.19

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.19.2.1

Es sei $u_{2} = {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u_{2}$ für alle ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.19.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) + 3 x - 4}{2 u_{2}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.1.2

Multipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.19.2.1.2.1

Bewege $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) + 3 x - 4}{2 u_{2}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.1.2.2

Mutltipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) + 3 x - 4}{2 u_{2}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} + 3 x - 4}{2 u_{2}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.19.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.19.2.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.19.2.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.19.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (2 - x) + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.1.2

Vereinfache.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (2 - x) + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 \cdot 2 + 6 (- x) + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{12 + 6 (- x) + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{12 - 6 x + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.2

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 6 x + 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.3

Addiere $- 6 x$ und $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.19.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - 2 x}$

Schritt 2.19.3.3

Schreibe $\frac{\frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - 2 x}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - (\frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 - 2 x})$

Schritt 2.19.3.4

Mutltipliziere $\frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{4 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (4 - 2 x)}$

Schritt 2.19.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.19.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 - 2 x$ heraus.

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Schritt 2.19.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (2) - 2 x)}$

Schritt 2.19.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (2) + 2 (- x))}$

Schritt 2.19.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (- x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (2 - x))}$

Schritt 2.19.4.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.19.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 - x)}$

Schritt 2.19.4.2.2

Potenziere $2 - x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{4 ((2 - x) {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.19.4.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{4 {(2 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.19.4.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.19.4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 2.19.4.2.6

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) + 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.6

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 8)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- (3 x - 8)}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.8

Schreibe $- (3 x - 8)$ als $- 1 (3 x - 8)$ um.

$f'' (x) = - \frac{- 1 (3 x - 8)}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{3 x - 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 x - 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2.19.11

Mutltipliziere $\frac{3 x - 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 - x}$ als ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

$x \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 - x$ .

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Schritt 4.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.8.3

Bringe ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.14.2

Kombiniere $\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.14.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.14.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{- x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.14.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 4.1.16

Mutltipliziere ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.17

Um ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.18

Kombiniere ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.20

Multipliziere ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.20.1

Bewege ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.20.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.20.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.20.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.20.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{- x + {(2 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.21

Vereinfache ${(2 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (2 - x) \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.22

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (2 - x)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23

Vereinfache.

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Schritt 4.1.23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x + 2 \cdot 2 + 2 (- x)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.23.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.23.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- x + 4 + 2 (- x)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- x + 4 - 2 x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$\frac{- 3 x + 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{- (3 x) + 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.4

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{- (3 x) - 1 (- 4)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{- (3 x - 4)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.6

Schreibe $- (3 x - 4)$ als $- 1 (3 x - 4)$ um.

$\frac{- 1 (3 x - 4)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x - 4 = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 4$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{3 x - 4}{2 \sqrt{{(2 - x)}^{1}}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{3 x - 4}{2 \sqrt{2 - x}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{3 x - 4}{2 \sqrt{2 - x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{2 - x} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{2 - x})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 - x}$ als ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(2 - x)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (2 - x) = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 2 + 4 (- x) = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.3.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 + 4 (- x) = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$8 - 4 x = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$8 - 4 x = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x = - 8$

Schritt 6.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 8$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 8$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 6.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 6.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 6.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 6.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 4$ .

$x = 2$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 - x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 - x < 0$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x < - 2$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x < - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Term in $- x < - 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} > \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x > 2$

Schritt 6.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \geq 2$

$[2, \infty)$

$x \geq 2$

$[2, \infty)$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{4}{3}, 2$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{4}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{3 (\frac{4}{3}) - 8}{4 {(2 - (\frac{4}{3}))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (\frac{4}{3}) - 8}{4 {(2 - \frac{4}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 - 8}{4 {(2 - \frac{4}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$\frac{- 4}{4 {(2 - \frac{4}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4}{4 {(2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4}{4 {(\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4}{4 {(\frac{2 \cdot 3 - 4}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{- 4}{4 {(\frac{6 - 4}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.2.4.2

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$\frac{- 4}{4 {(\frac{2}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$\frac{- 4}{4 \frac{2^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.3

Kombiniere $4$ und $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 4}{\frac{4 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 4}{\frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 4}{\frac{2^{2 + \frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.4.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4}{\frac{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.4.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4}{\frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4}{\frac{2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 4}{\frac{2^{\frac{4 + 3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.4.6.2

Addiere $4$ und $3$ .

$\frac{- 4}{\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- 4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 9.6

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 9.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 10

$x = \frac{4}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{4}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{4}{3}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3}) \sqrt{2 - (\frac{4}{3})}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}}$

Schritt 11.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}}$

Schritt 11.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4}{3}}$

Schritt 11.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{6 - 4}{3}}$

Schritt 11.2.4.2

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$

Schritt 11.2.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ als $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ um.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 11.2.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 11.2.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 11.2.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 11.2.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 11.2.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 11.2.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 11.2.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 11.2.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.2.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 11.2.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 11.2.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 11.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Schritt 11.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 11.2.9

Multipliziere $\frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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Schritt 11.2.9.1

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4 \sqrt{6}}{3 \cdot 3}$

Schritt 11.2.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

Schritt 11.2.10

Die endgültige Lösung ist $\frac{4 \sqrt{6}}{9}$ .

$y = \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{3 (2) - 8}{4 {(2 - (2))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 (2) - 8}{4 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{3 (2) - 8}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.1.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{3 (2) - 8}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (2) - 8}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2) - 8}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (2) - 8}{4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3 (2) - 8}{4 \cdot 0}$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{3 (2) - 8}{0}$

Schritt 13.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{3 (2) - 8}{0}$

Schritt 13.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 15